Элементы вариационного исчисления. Молчанова Л.А. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

d4 := 2(
d
4
dx
4
y(x))
eq := 2y(x) −
2
sin(x)
+ 4(
d
2
dx
2
y(x)) + 2(
d
4
dx
4
y(x))
y := −0.3811981052 sin(x) − 0.1250000000 sin(x) x
2
+
+1.713764698 cos(x) x + 1.424852554 cos(x) + 0.8677053540 sin(x) x
y(x)
primer 3
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
–0.8
–0.4
0
0.4
0.8
x
J[y] =
Z
1
−1
(x
2
+ y
2
+ y
02
)dx; y(−1) = 1 y(1) = 2;
>d4:=diff(dFy2,x$2);
                                                      4
                                       d
                             d4 := 2( dx 4 y(x))

ñîñòàâëåíèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà
>eq:=dFy-d3+d4;
                               2         d2              d4
              eq := 2y(x) − sin(x) + 4( dx 2 y(x)) + 2( dx4 y(x))

ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñ çàäàííûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè:
>res:=dsolve({eq,y(-1)=1,y(1)=2,D(y)(-1)=-1,D(y)(1)=-1},y(x)):
> assign(res):y:=simplify(evalf(y(x)));
           y := −0.3811981052 sin(x) − 0.1250000000 sin(x) x2 +
     +1.713764698 cos(x) x + 1.424852554 cos(x) + 0.8677053540 sin(x) x
ïîñòðîåíèå ãðàôèêà
>py:=plot(y,x=-1..1,title="primer 3",
legend="y(x)",color=black):
>plots[display](py);


                                            primer 3
                                              2
                                            1.8
                                            1.6
                                            1.4
                                            1.2
                                              1

                              –0.8   –0.4         0          0.4 x   0.8

                                                      y(x)




                  Ðèñ. 3. Ãðàôèê ýêñòðåìàëè ïðèìåðà 3

   Ïðèìåð 4. Ìåòîäîì Ðèòöà íàéòè ýêñòðåìàëü ôóíêöèîíàëà
                      Z   1
             J[y] =           (x2 + y 2 + y 02 )dx; y(−1) = 1 y(1) = 2;
                      −1

ñðàâíèòü ïîëó÷åííîå ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ñ òî÷íûì ðåøåíèåì èç ïðè-
ìåðà 1; ïîñòðîèòü èõ ãðàôèêè.
   Ðåøåíèå. Âûáèðàåì áàçèñíûå ôóíêöèè è îïðåäåëÿåì àïïðîêñèìèðóþ-
ùóþ ôóíêöèþ. Ðàññìàòðèâàþòñÿ äâà âàðèàíòà áàçèñíûõ ôóíêöèé, óäî-
âëåòâîðÿþùèõ îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, - ñèñòåìà ïîëèíîìîâ è
ñèñòåìà ñèíóñîâ:
> restart: #ïîñòðîåíèå áàçèñíûõ ôóíêöèé

                                              15

Страницы