ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
y = y(x)
A
J J A
J = J[y(x)], y ∈ A.
y = y(x) z = z(x, y)
η(x)
Z
x
1
x
0
f(x)η(x)dx = 0,
f(x) [x
0
, x
1
]
f(x) ≡ 0
η(x)
η(x
0
) = η(x
1
) = 0; η(x)
p
J[y(x)] =
Z
x
1
x
0
F (x, y(x), y
0
(x))dx, (1)
Ââåäåíèå
Âàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå ÿâëÿåòñÿ ðàçäåëîì ìàòåìàòèêè, â êîòîðîì
èçó÷àþòñÿ ìåòîäû, ïîçâîëÿþùèå íàõîäèòü ìàêñèìàëüíûå è ìèíèìàëüíûå
çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëîâ.
Ãîâîðÿò, ÷òî çàäàí ôóíêöèîíàë, åñëè êàæäîé ôóíêöèè (êðèâîé èëè ïî-
âåðõíîñòè) èç íåêîòîðîãî êëàññà ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèè îïðåäåëåííîå
÷èñëî.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè êàæäîé ôóíêöèè y = y(x), ïðèíàäëåæàùåé íåêî-
òîðîìó ôóíêöèîíàëüíîìó êëàññà A, ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ÷èñëîâîå çíà-
÷åíèå J , òî ãîâîðÿò, ÷òî J åñòü ôóíêöèîíàë, îïðåäåëåííûé íà êëàññå A, è
ïèøóò
J = J[y(x)], y ∈ A.
Îñíîâíîé çàäà÷åé âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ðàçûñêàíèå íàè-
áîëüøèõ è íàèìåíüøèõ çíà÷åíèé ôóíêöèîíàëîâ îò ëèíèé è ïîâåðõíîñòåé,
âûðàæàåìûõ íåêîòîðûìè îïðåäåëåííûìè èíòåãðàëàìè.
Åñëè ôóíêöèîíàë äëÿ íåêîòîðîé ëèíèè èëè ïîâåðõíîñòè èìååò çíà-
÷åíèå íå ìåíüøåå (íå áîëüøåå), ÷åì äëÿ âñåõ áëèçêèõ ê íåé ëèíèé èëè
ïîâåðõíîñòåé, òî ãîâîðÿò, ÷òî äëÿ ýòîé ëèíèè èëè ïîâåðõíîñòè ôóíêöèî-
íàë èìååò ýêñòðåìóì.  âàðèàöèîííîì èñ÷èñëåíèè äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ëè-
íèÿ y = y(x) èëè ïîâåðõíîñòü z = z(x, y), äàþùàÿ ýêñòðåìóì íåêîòîðî-
ìó ôóíêöèîíàëó, äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü íåêîòîðîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó
óðàâíåíèþ. Óäîâëåòâîðåíèå ýòîìó óðàâíåíèþ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåîáõî-
äèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà ôóíêöèîíàëà.
Îñíîâíàÿ ëåììà. Åñëè äëÿ êàæäîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè η(x)
Z x1
f (x)η(x)dx = 0,
x0
ãäå ôóíêöèÿ f (x)íåïðåðûâíà íà [x0 , x1 ], òî
f (x) ≡ 0
íà òîì æå îòðåçêå.
Çàìå÷àíèå. Óòâåðæäåíèå ëåììû íå èçìåíèòñÿ, åñëè íà ôóíêöèþ η(x)
íàëîæèòü ñëåäóþùèå îãðàíè÷åíèÿ: η(x0 ) =, η(x1 ) = 0; η(x) èìååò íåïðå-
ðûâíûå ïðîèçâîäíûå äî ïîðÿäêà p.
Ïðîñòåéøàÿ âàðèàöèîííàÿ çàäà÷à. Ìåòîä Ýéëåðà
Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé ôóíêöèîíàë
Z x1
J[y(x)] = F (x, y(x), y 0 (x))dx, (1)
x0
3
