Элементы вариационного исчисления. Молчанова Л.А. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

y = y(x)
∂F
∂y
−
d
dx
∂F
∂y
0
= 0. (6)
y = y(x) ∂
2
F/∂y
0
2
6= 0
y = y(x) y
00
∂
2
F
∂y
02
y
00
+
∂
2
F
∂y∂y
0
y
0
+
∂
2
F
∂x∂y
0
−
∂F
∂y
= 0. (7)
δJ =
∂F
∂y
0
δy|
x=x
1
x=x
0
+
Z
x
1
x
0
h
∂F
∂y
−
d
dx
∂F
∂y
0
i
δydx (δy = εη).
∂F
∂y
0
δy|
x=x
1
x=x
0
= 0. (8)
η
∂F
∂y
0
|
x=x
0
= 0,
∂F
∂y
0
|
x=x
1
= 0. (9)
   Â ñèëó îñíîâíîé ëåììû ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ôóíêöèÿ y = y(x), äàþ-
ùàÿ ýêñòðåìóì èíòåãðàëó (1), äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü äèôôåðåíöèàëüíîìó
óðàâíåíèþ
                           ∂F     d ∂F
                               −         = 0.                      (6)
                           ∂y    dx ∂y 0
                                                                2
Åñëè âäîëü èññëåäóåìîé ëèíèè y = y(x) ïðîèçâîäíàÿ ∂ 2 F/∂y 0 6= 0, òî
ôóíêöèÿ y = y(x) èìååò âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ y 00 è óðàâíåíèå (6) ìîæåò
áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå

                   ∂ 2 F 00    ∂2F 0      ∂2F     ∂F
                       02
                          y +      0
                                     y +        −    = 0.              (7)
                   ∂y         ∂y∂y       ∂x∂y 0   ∂y
    Óðàâíåíèå (6) áûëî äàíî Ë. Ýéëåðîì è íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ýéëå-
ðà äàííîé çàäà÷è. Óðàâíåíèå (7) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå âòîðîãî
ïîðÿäêà, è åãî îáùèé èíòåãðàë ñîäåðæèò äâå ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå,
êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ èç äâóõ óñëîâèé (2).
    Èíòåãðàëüíûå êðèâûå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà íàçûâàþòñÿ ýêñòðåìàëÿìè.
Òàêèì îáðàçîì, ýêñòðåìàëü - ýòà òà êðèâàÿ, íà êîòîðîé ìîæåò äîñòèãàòü-
ñÿ ýêñòðåìóì ôóíêöèîíàëà (1). Òàê êàê óðàâíåíèå Ýéëåðà äîïîëíÿåòñÿ íå
íà÷àëüíûìè, à ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè, òî òåîðåìà Êîøè î ñóùåñòâîâàíèè
è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ çäåñü íåïðèìå-
íèìà. Èíûìè ñëîâàìè, ýêñòðåìàëü íå îáÿçàòåëüíî ñóùåñòâóåò, à åñëè ñó-
ùåñòâóåò, òî íå îáÿçàòåëüíî åäèíñòâåííà. Âñå çàâèñèò îò âèäà óðàâíåíèÿ
Ýéëåðà è ðàçðåøèìîñòè ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (2).
    Óðàâíåíèå (6) äàåò íåîáõîäèìîå, íî, âîîáùå ãîâîðÿ, íåäîñòàòî÷íîå óñëî-
âèå ýêñòðåìóìà. Äëÿ òîãî ÷òîáû âûÿñíèòü, åñòü ýêñòðåìóì èëè íåò, íóæíî
èññëåäîâàòü çíàê ðàçíîñòè (3).
    Åñëè óñëîâèÿ (2) íå çàäàíû, òî îáðàòèìñÿ ê îáùåìó âûðàæåíèþ âàðè-
àöèè ôóíêöèîíàëà (1)
                                 Z x1 h
                ∂F       x=x1           ∂F    d ∂F i
           δJ =      δy| x=x   +           −         δydx (δy = εη).
                ∂y 0         0
                                  x0    ∂y   dx ∂y 0

Ðàâåíñòâî íóëþ ïåðâîé âàðèàöèè ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó
                              ∂F
                                  δy|x=x1 = 0.                         (8)
                              ∂y 0 x=x0
Òàê êàê íà ñâîáîäíîì êîíöå η ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíûì, òî èç (8) ñëåäóåò
                        ∂F              ∂F
                             |x=x0 = 0,      |x=x1 = 0.                (9)
                        ∂y 0            ∂y 0

                                      5

Страницы