Элементы вариационного исчисления. Молчанова Л.А. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

F
B
(x, y) y
0
y(x)
y(x
0
) = y
0
, y(x
1
) = y
1
. (2)
J
y(x) B
C
(1)
y(x)
C
(1)
y(x) J
y(x)
¯y(x) = y(x) + εη(x) ε η(x)
J[¯y(x)] − J[y(x)] = J[y(x) + εη(x)] − J[y(x)].
ε ε → 0
J[y(x) + εη(x)] − J[y(x)] =
h
dJ[y(x) + εη(x)]
dε
i
|
ε=0
ε + O(ε
2
). (3)
J y = y(x)
h
dJ[y(x) + εη(x)]
dε
i
|
ε=0
= 0. (4)
h
dJ[y(x) + εη(x)]
dε
i
|
ε=0
=
h
d
dε
Z
x
1
x
0
F (x, y + εη, y
0
+ εη
0
(x))dx
i
|
ε=0
=
Z
x
1
x
0
h
∂F
∂y
η +
∂F
∂y
0
η
0
i
dx =
∂F
∂y
0
η|
x=x
1
x=x
0
| {z }
=0
+
Z
x
1
x
0
h
∂F
∂y
−
d
dx
∂F
∂y
0
i
ηdx = 0. (5)
ãäå F - çàäàííàÿ ôóíêöèÿ òðåõ àðãóìåíòîâ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îíà íåïðå-
ðûâíà âìåñòå ñ ïðîèçâîäíûìè âòîðîãî ïîðÿäêà â íåêîòîðîé îáëàñòè B
ïëîñêîñòè (x, y) è ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà y 0 .
   Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè y(x) íà êîíöàõ ïðîìåæóòêà èíòåãðèðîâàíèÿ çàäàíû:

                              y(x0 ) = y0 , y(x1 ) = y1 .                              (2)

   Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèîíàë J äîñòèãàåò îòíîñèòåëüíîãî
ýêñòðåìóìà äëÿ êðèâîé y(x), ëåæàùåé â îáëàñòè B , ïðèíàäëåæàùåé êëàñ-
ñó C (1) è óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ (2), åñëè âåëè÷èíà ýòîãî ôóíêöèîíàëà
äëÿ y(x) íå ìåíüøå (íå áîëüøå) åãî âåëè÷èíû äëÿ ëþáûõ äðóãèõ êðèâûõ
êëàññà C (1) .
   Âûâåäåì íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíà ïîä÷èíÿòüñÿ ôóíê-
öèÿ y(x) äëÿ òîãî, ÷òîáû ôóíêöèîíàë J èìåë ýêñòðåìóì. Çàäà÷à ðåøàåòñÿ
ìåòîäîì Ýéëåðà. Íàðÿäó ñ ôóíêöèé y(x) îáðàçóþò íîâóþ ôóíêöèþ ñðàâ-
íåíèÿ ȳ(x) = y(x) + εη(x), ãäå ε - ìàëûé ÷èñëåííûé ïàðàìåòð, à η(x) -
ëþáàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì (2).
   Ñîñòàâèì ðàçíîñòü

                   J[ȳ(x)] − J[y(x)] = J[y(x) + εη(x)] − J[y(x)].

Ýòà ðàçíîñòü åñòü ôóíêöèÿ îò ε, è îíà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè ε → 0. Ðàç-
ëîæèì ýòó ôóíêöèþ â ðÿä Òåéëîðà
                                          h dJ[y(x) + εη(x)] i
            J[y(x) + εη(x)] − J[y(x)] =                       |ε=0 ε + O(ε2 ).         (3)
                                                  dε
Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèîíàë J äîñòèãàë ýêñòðåìóìà ïðè y = y(x) íåîáõî-
äèìî, ÷òîáû ðàçíîñòü (3) èìåëà îïðåäåëåííûé (ïîñòîÿííûé) çíàê. Ïîýòîìó
íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà áóäåò
                            h dJ[y(x) + εη(x)] i
                                                |ε=0 = 0.                              (4)
                                    dε
Ðåàëèçóåì óñëîâèå (4)
    h dJ[y(x) + εη(x)] i       h d Z x1                                i
                        |ε=0 =          F (x, y + εη, y 0 + εη 0 (x))dx |ε=0 =
            dε                  dε x0
   Z        h ∂F                                Z
       x1
                    ∂F i        ∂F x=x1             x1   h ∂F        d ∂F i
                 η + 0 η 0 dx =     η|    +                     −           ηdx = 0.   (5)
    x0        ∂y    ∂y          ∂y 0 x=x0        x0       ∂y        dx ∂y 0
                                | {z }
                                     =0


                                            4

Страницы