Элементы вариационного исчисления. Молчанова Л.А. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

y = y(x, C
1
, C
2
)
y = y(x)
F
J[y(x)] =
Z
x
1
x
0
F (x, y, y
0
, ··· , y
(n)
)dx, (10)
∂F
∂y
−
d
dx
∂F
∂y
0
+ ··· + (−1)
n
d
n
dx
n
∂F
∂y
(n)
= 0.
2n
2n 2n
(n − 1)
J[y
1
(x), y
2
(x), ··· , y
n
(x)] =
Z
x
1
x
0
F (x, y
1
, y
2
, ··· , y
n
, y
0
1
, y
0
2
, ··· , y
0
n
)dx,
y
i
(x
0
) = y
i,0
, y
i
(x
1
) = y
i,1
, i = 1, 2, ··· , n
∂F
∂y
i
−
d
dx
∂F
∂y
0
i
= 0, i = 1, 2, ··· , n. (11)
J[y(x)] =
Z
b
a
F (x, y, y
0
)dx → min, (12)
Ðåøàÿ óðàâíåíèå Ýéëåðà, ïîëó÷àþò y = y(x, C1 , C2 ), à çàòåì èç (9) íàõîäÿò
y = y(x). Ïðåäåëüíûå óñëîâèÿ (9) íàçûâàþòñÿ îáû÷íî åñòåñòâåííûìè
ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè.
   Åñëè ôóíêöèÿ F ñîäåðæèò ïðîèçâîäíûå èñêîìîé ôóíêöèè âûøå ïåð-
âîãî ïîðÿäêà               Z              x1
                          J[y(x)] =            F (x, y, y 0 , · · · , y (n) )dx,                (10)
                                         x0

òî óðàâíåíèå Ýéëåðà èìååò âèä
                                                      n
                       ∂F    d ∂F                  n d   ∂F
                          −         + · · · + (−1)             = 0.
                       ∂y   dx ∂y 0                 dxn ∂y (n)
Ýòî åñòü äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïîðÿäêà 2n. Åãî îáùèé èíòåãðàë
ñîäåðæèò 2n ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ è íåîáõîäèìî èìåòü åùå 2n ïðå-
äåëüíûõ óñëîâèé.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ýòè óñëîâèÿ ñâîäÿòñÿ ê çàäàíèþ
ôóíêöèè è åå ïðîèçâîäíûõ äî ïîðÿäêà (n − 1) íà êîíöàõ ïðîìåæóòêà.
   Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ ôóíêöèîíàë, çàâèñÿùèé îò íåñêîëüêèõ ôóíêöè-
îíàëüíûõ àðãóìåíòîâ
                                        Z x1
    J[y1 (x), y2 (x), · · · , yn (x)] =      F (x, y1 , y2 , · · · , yn , y10 , y20 , · · · , yn0 )dx,
                                              x0

ïðè÷åì
                       yi (x0 ) = yi,0 , yi (x1 ) = yi,1 , i = 1, 2, · · · , n
òî ñèñòåìà óðàâíåíèé Ýéëåðà èìååò âèä
                             ∂F     d ∂F
                                 −         = 0, i = 1, 2, · · · , n.                            (11)
                             ∂yi   dx ∂yi0

Ìåòîä Ðèòöà
    íàñòîÿùåå âðåìÿ øèðîêîå ðàçâèòèå ïîëó÷èëè èíûå ìåòîäû ïîäõîäà ê
ðåøåíèþ çàäà÷ íà ýêñòðåìóì - ìåòîäû, êîòîðûå îáõîäÿò ïðèìåíåíèå äèô-
ôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Â îñíîâå ýòèõ ìåòîäîâ ëåæèò èäåÿ ïîñòðîèòü
èñêîìóþ ôóíêöèþ, äàþùóþ ýêñòðåìóì ôóíêöèîíàëà, ïðè ïîìîùè íåêîòî-
ðîãî ïðåäåëüíîãî ïðîöåññà, èñõîäÿ íåïîñðåäñòâåííî èç âèäà òîãî èíòåãðà-
ëà, ýêñòðåìóì êîòîðîãî èùåòñÿ.
    Îñíîâíàÿ èäåÿ ìåòîäà Ðèòöà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïóñòü ïîñòàâ-
ëåíà âàðèàöèîííàÿ çàäà÷à äëÿ ôóíêöèîíàëà
                              Z b
                    J[y(x)] =     F (x, y, y 0 )dx → min,          (12)
                                           a


                                                   6

Страницы