Механические колебания. Молотков Н.Я - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 70
Рис. 71
На математический ма-
ятник со стороны пружины,
длина которой периодически
изменяется, действует сила,
изменяющаяся по закону
tFF
m
ω= cos ,
где
m
F – амплитудное значение
вынуждающей силы.
На колебательный контур воздействует
периодическая ЭДС от внешнего источ-
ника
t
m
ω
ε
=ε cos ,
где
m
ε – амплитудное значение
ЭДС.
Дифференциальные уравнения движения принимают вид
t
m
F
xxx
m
ω=ω+
′
α+
′′
cos2
2
0
. t
L
qqq
m
ω
ε
=ω+
′
α+
′′
cos2
2
0
.
В случае установившегося движения решения дифференциальных уравнений имеют вид
()
ϕ−ω= txx
m
cos .
(
)
ϕ
−
ω
= tqq
m
cos .
Амплитуды
m
x или
m
q и фаза ϕ вынужденных колебаний не зависят от начальных условий и определяются парамет-
рами системы и силой или ЭДС
()
()
2
2
2
0
2
2αω+ω−ω
=
m
F
x
m
m
.
()
()
2
2
2
0
2
2αω+ω−ω
ε
=
L
q
m
m
.
22
0
2
tg
ω−ω
αω
=ϕ
.
Установившиеся вынужденные колебания являются также гармоническими с частотой, равной вынуждающей частоте.
Исследуя зависимость амплитуды вынужденных колебаний от вынуждающей частоты на максимум, можно убедиться,
что
()
ω
m
x и
()
ω
m
q имеют максимум при
22
0
α−ω=ω
р
.
Эта частота называется резонансной, а само явление возрастания амплитуды при приближении к резонансной частоте
р
ω называется резонансом. При малых затуханиях можно считать, что
0
ω≅ω
р
.
Фаза вынужденных колебаний при
р
ω<<ω
совпадает с фазой вынуждающего воздействия, в области резонанса при
р
ω=ω
разность фаз
ϕ
близка к π/2, а при
р
ω>>ω
разность фаз стремится к π.
Часто (а в электрических явлениях почти всегда) большой интерес представляет резонансная кривая для скорости
()
ω
m
v или тока
()
ω
m
J
π
+ϕ−ωω=
′
2
cos txx
m
,
π
+ϕ−ωω=
′
2
cos tqq
m
,
или
()
ψ
−ω= t
m
cosvv ,
(
)
ψ
−
ω
=
tJJ
m
cos ,
где
()
22
2
2
0
2
4
v
ωα+ω−ω
ω
=ω=
m
F
x
m
mm
,
()
22
2
2
0
2
4 ωα+ω−ω
ωε
=ω=
L
qJ
m
mm
,
2
π
−ϕ=ψ .
Произведя несложные преобразования, получим

Страницы