Механические колебания. Молотков Н.Я - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Собственные затухающие колебания
Механическая система с
трением, сила которого пропор-
циональна первой степени ско-
рости:
xrF
т
′
−=
Электрический контур с ак-
тивным сопротивлением R
Уравнения, описывающие колебания в системах
x
l
mg
xrxm −
′
−=
′′
, 0
1
=+
′
+
′′
q
C
qRqL ,
0=+
′
+
′′
x
l
g
x
m
r
x
. 0
1
=+
′
+
′′
q
L
C
q
L
R
q
.
Полученные уравнения принято записывать в виде
02
2
0
=ω+
′
α+
′′
xxx ,
где введено обозначение
m
r
2
=α
.
02
2
0
=ω+
′
α+
′′
qqq ,
где
L
R
2
=α
.
Коэффициент α называется показателем затухания. Решение дифференциальных уравнений приводит к следующим
результатам.
1. Потери энергии в системе малы
()
0
ω<α . Решение имеет вид:
()
0
cos ϕ+ω=
α−
texx
t
m
(
)
0
cos ϕ+ω=
α−
teqq
t
m
где =e 2,718 – основание натуральных логарифмов, а
22
0
α−ω=ω .
Постоянные величины
m
x ,
m
q и
0
ϕ определяются начальными условиями возбуждения колебаний. Вследствие затуха-
ния колебания в системе не являются строго периодическими. Под их периодом
ω
π
=
2
T обычно понимают интервал време-
ни между двумя последовательными отклонениями от положения равновесия в одну сторону. Как видно из решений, ампли-
туда собственных колебаний в реальной системе убывает со временем. Логарифмический декремент затухания определяет
отношение двух любых последовательных максимальных смещений, разделенных во времени одним периодом
()
ω
πα
=α==δ
+
2
ln
T
x
x
Ttm
mt
,
и характеризует относительную убыль амплитуды за период. Добротность колебательной системы обратно пропорциональна
логарифмическому декременту затухания и определяет относительную убыль энергии колебаний за период
T
Q
α
π
=
α
ω
=
δ
π
=
2
.
2. Потери энергии в системе велики
()
0
ω>α . При большом трении в механической системе движение имеет апериоди-
ческий характер, и возникновение в ней колебаний становится невозможным. При большом активном сопротивлении коле-
бательного контура в нем происходит апериодический разряд конденсатора. Сопротивление, при повышении которого в сис-
теме нет колебаний, называется критическим
l
g
mr
2
кр
=
C
L
R
2
кр
= .
Вынужденные колебания возникают в колебательных системах под действием внешней периодической силы F или
ЭДС.
Механическая система
Электрическая система
m
F
l
R
L
С
∼ ε

Страницы