Механические колебания. Молотков Н.Я - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
1фаз
tgv α=
ω
=
k
k
.
Групповая скорость, согласно ее определению, характеризуется наклоном касательной в этой точке, т.е.
2гр
tgv α=
ω
=
d
k
d
.
Следовательно, групповая скорость волн отличается от фазовой скорости. Найдем связь между этими скоростями. На ос-
новании уравнения дисперсии (16.3) имеем
2
cos
2
1
v
0гр
ka
a
d
k
d
ω=
ω
= .
Учитывая, что
фаз
v
ω
=
k , получим связь между фазовой и групповой скоростями
фаз
0гр
v2
cos
2
1
v
a
a
ω
ω= .
Для нахождения зависимости групповой скорости от частоты возбуждения подставим в полученную формулу выражение
(16.4)
0
0гр
arcsincos
2
1
v
ω
ω
ω= a
.
Учитывая, что
2
00
1arccosarcsin
ω
ω
−=
ω
ω
, окончательно получим
2
0
0гр
1
2
1
v
ω
ω
−ω=
a .
График зависимости групповой скорости от частоты возбуждения структуры представлен на рис. 66.
Из полученной формулы следует, что при
0→ω групповая скорость имеет максимальное значение
0maxгр
2
1
v ω=
a ,
которое совпадает с
maxф
v
. При критической частоте
0
ω
→
ω
0v
minгр
=
.
Наличие дисперсии в периодической дискретной структуре приводит к тому, что кратковременный импульс или волно-
вой цуг ограниченной протяженности, представляющий собой суперпозицию гармонических волн с различными волновыми
числами, будут менять свою форму по мере движения в структуре, так как составляющие его компоненты с различными
длинами волн распространяются с разной фазовой скоростью. Это явление можно наблюдать на опыте. Действительно, от-
клонив первый элемент вверх от положения равновесия и возвратив его быстро в исходное положение, наблюдают движение
импульса с групповой скоростью (рис. 67, а, б). По мере движения импульса вдоль структуры замечают его уширение. Оче-
видно, что уширение импульса будет тем больше, чем больше расстояние он пройдет вдоль линии. Поэтому уширение отра-
женного импульса от неподвижного конца линии проявится особенно заметно (рис. 67, в).
17. ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ
Изучая звук и свет, механические и электромагнитные колебания, мы сталкиваемся с поразительной общностью этих яв-
лений. Значительная часть механических движений, акустические процессы, переменный ток, радиотехника, волновая
оптика, многие вопросы атома и ядра – вот далеко не полный перечень явлений, которые описываются на уровне колеба-
тельных процессов. Несмотря на различную природу физических процессов в колебательных системах, все они описы-
ваются единым математическим аппаратом, что позволяет проводить далеко идущие аналогии, которые имеют важное
значение в науке и технике. Сравним механические и электрические колебательные системы.

Страницы