Механические колебания. Молотков Н.Я - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

() () () ()
[]
ttt
aJ
dT
t
nnnn 11
2
0
2
−+
ψ+ψ−ψ=ψ
&&
, (16.2)
где
0
T – натяжения пружин, когда элементы находятся в положении равновесия; a – расстояние между элементами структу-
ры, находящимися также в состоянии устойчивого равновесия.
Покажем, что уравнение бегущей волны (16.1) является решением волнового уравнения (16.2). Для этого в соответствии
с формулой (16.1) запишем уравнение колебаний для элементов с порядковыми номерами n, n + 1, n – 1:
[
]
β
−
ω
ψ
=
ψ
nt
mn
cos ;
(
)
[
]
β
−
−
ω
ψ
=
ψ
−
1cos
1
nt
mn
;
(
)
[
]
β
+
−
ω
ψ
=
ψ
+
1cos
1
nt
mn
.
Из формулы (16.1) имеем
[
]
β−ωψω−=ψ nt
mn
cos
2
&&
.
Подставляя полученные уравнения в (16.2), получим
(
)
() ()
[]
()
[]
{}
β+−ω−β−−ω−β−ωψ−=
=β−ωψω−
1cos1coscos2
cos
2
0
2
ntntnt
aJ
dT
nt
m
m
или
(
)
()()
[]
()
[]
{}
.coscoscos2
cos
2
0
2
β−β−ω−β+β−ω−β−ω=
=β−ωω
ntntnt
aJ
dT
nt
Используя тригонометрическую формулу
()
(
)
β
α
=
β
−
α
+
β
+
α coscos2coscos ,
получим после сокращения на
(
)
β−
ω
ntcos
()
β−=ω cos12
2
0
2
aJ
dT
.
Учитывая, что
()
2
sin2cos1
2
β
=β−
, найдем
2
sin4
2
2
0
2
β
=ω
aJ
dT
или
2
sin2
2
sin2
00
ka
aJ
T
d
aJ
T
d
=
β
=ω
,
где k – волновое число. Полученное выражение называется уравнением дисперсии для поперечных колебаний в дискретной
структуре. Аналогичное уравнение можно получить для продольных колебаний
2
sin2
2
sin2
ka
J
d
J
d
µ
=
βµ
=ω
.
Из уравнений дисперсии следует: поскольку максимальная величина
2
sin
β
равна единице, то самая высокая частота ко-
лебаний, которые могут распространяться в дискретной периодической структуре, равна
aJ
T
d
0
0
2=ω или
J
d
µ
=ω 2
0
, со-
ответственно, для поперечных и продольных волн. Эти частоты называются критическими. Следовательно, в общем виде
уравнение дисперсии можно записать
2
sin
2
sin
00
ka
ω=
β
ω=ω
. (16.3)
Так как при критической частоте
1
2
sin =
β
, то
22
π
=
β
и, следовательно, при возбуждении периодической структуры с
частотой, равной критической, соседние элементы должны совершать колебания с разностью фаз
π.
Прежде чем изучать поведение дискретной периодической структуры при различной частоте возбуждения ее пере-
менной силой, исследуем уравнение дисперсии (16.3). График зависимости частоты от волнового числа, построенный на ос-
новании этой формулы, показан на рис. 65. Из графика следует, что отношение частоты к волновому числу не является по-
стоянной величиной, а следовательно, фазовая скорость бегущих волн
(
)
k
k
ω
=
фаз
v зависит от частоты возбуждения перио-
дической структуры. Найдем эту зависимость. Из уравнения (16.3) имеем

Страницы