Механические колебания. Молотков Н.Я - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

вынужденных колебаниях периодической структуры происходит перемещение ее состояния, т.е. движение формы или кон-
фигурации, а не перенос самих элементов структуры. Под фазовой скоростью бегущей монохроматической волны понимает-
ся быстрота перемещения формы или конфигурации волны, т.е. воображаемой точки, имеющей постоянную фазу колебаний.
О величине фазовой скорости можно судить по быстроте перемещения, например, любого выбранного «гребня» бегущей
волны.
Таким образом, при возбуждении дискретной структуры гармонической силой в ней распространяется возмущение
так, что мгновенное смещение с порядковым номером n описывается уравнением
(
)
β
−
ω
ψ
=
ψ
nt
mn
cos ,
где β – величина, характеризующая отставание по фазе последующего элемента структуры от предыдущего. При этом счи-
тается, что номер первого элемента равен n = 0. Учитывая, что волновое число k численно равно разности фаз колебаний
двух элементов структуры, отстоящих на единичном расстоянии друг от друга, можно записать
a
k
β
=
,
где a – расстояние между соседними элементами структуры, находящимися в положении устойчивого равновесия. Учиты-
вая, что
ka=β , уравнение примет вид
(
)()
kxtknat
mmn
−ωψ=
−
ω
ψ
=
ψ
coscos , (16.1)
где
na
x
=
– координата произвольного элемента структуры. Данное уравнение называют уравнением бегущей монохрома-
тической волны.
Процесс распространения волн в дискретной периодической структуре зависит от ее свойств. Найдем волновое уравне-
ние для продольных колебаний структуры (рис. 64). Уравнение движения любого элемента с порядковым номером n (n = 0,
1, 2, …, N – 1) можно получить из основного закона динамики вращательного движения вокруг неподвижной точки О
nn
MJ
=
ψ
&&
,
где J – момент инерции одного из элементов относительно оси О вращения;
n
ψ
– угол поворота элемента с порядковым но-
мером n;
n
M – момент сил, действующих на рассматриваемый элемент со стороны пружин.
Рис. 64
Можно показать, что при малых углах отклонения элементов от положения равновесия при продольных колебаниях
смещение элемента с порядковым номером n пропорционально величине
()
(
)
11 −+
ψ
−
ψ
−ψ−ψ=∆
nnnnn
ddx или
(
)
11
2
−+
ψ
+
ψ
−
ψ
=
∆
nnnn
dx ,
где d – расстояние от оси вращения элемента до точки крепления пружин к стержню. Сила упругости, действующая на эле-
мент структуры с порядковым номером n, равна
(
)
11
2
−+
ψ
+
ψ
−
ψ
µ
=
∆
µ=
nnnnn
dxF ,
где µ – коэффициент жесткости пружин.
Соответственно, момент сил, действующих на рассматриваемый элемент, относительно оси О при малых углах откло-
нения равен
(
)
11
2
2
−+
ψ+ψ−ψµ==
nnnnn
ddFM .
Подставляя это выражение в закон динамики вращательного движения, получим волновое уравнение движения произ-
вольного элемента структуры при продольных колебаниях
() () () ()
[]
ttt
J
d
t
nnnn 11
2
2
−+
ψ+ψ−ψ
µ
=ψ
&&
.
Аналогично можно найти волновое уравнение для поперечных колебаний дискретной периодической структуры

Страницы