Механические колебания. Молотков Н.Я - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

энергии τ от одного элемента к другому в случае двух связанных элементов значительно больше периода колебаний самих
маятников.
Для исследования свободных колебаний в системе, имеющей три степени свободы, закрепляют неподвижно первый и
пятый элементы дискретной периодической структуры. Для наблюдения первой моды движения отклоняют в одну сторону
второй, третий и четвертый элементы от положения равновесия и предоставляют возможность совершать свободные колеба-
ния. Отмечают, что колебания всех трех элементов происходят в одинаковой фазе, с одинаковой частотой
31
ω
, но
i = 1 i = 2 i = 3 i = 4
m = 1
m = 2
m = 3
m = 4
а) б) в) г)
Рис. 60
различной амплитудой. Третий элемент имеет максимальную амплитуду колебаний. Для наблюдения второй моды движения
отклоняют в противоположные стороны второй и пятый элементы и предоставляют им возможность совершать свободные
колебания. При этом второй и пятый элементы совершают противофазные колебания с частотой
3132
ω>ω , причем третий
элемент колебаний не совершает. Для наблюдения третьей моды движения отклоняют второй и четвертый элементы в одну
сторону от положения равновесия, а третий – в другую сторону, и отпустив их, отмечают противофазные колебания всех
трех элементов с одинаковой амплитудой и частотой
3233
ω
>
ω
. Рассмотренные три моды движения показаны на рис. 60, в.
Если возбудить толчком второй элемент структуры, то его колебания последовательно передаются сначала к третьему эле-
менту, а затем к четвертому и обратно. Этот периодический процесс передачи колебаний повторяется вдоль цепочки элемен-
тов несколько раз. При этом время передачи энергии от одного элемента к соседнему становится значительно меньше пе-
риода собственных колебаний элементов.
Моды собственных колебаний в системе, состоящей из четырех элементов, показаны на рис. 60, г. С переходом к более
высоким модам движения частота колебаний увеличивается
41424344
ω
>
ω
>
ω
>ω .
В случае предельной моды элементы структуры совершают противофазные колебания и мода имеет «зигзагообразный» ха-
рактер. При возбуждении толчком или ударом одного из крайних элементов колебательное движение передается вдоль ли-
нии слева направо и обратно. Время
τ передачи энергии от одного элемента к другому становится малым и передача коле-
баний носит характер волнового процесса.
Для изучения свободных колебаний системы с большим числом степеней свободы закрепляют неподвижно крайние
элементы дискретной периодической структуры. Легко видеть, что дискретная система в данном случае имеет i = N – 2 = 11
степеней свободы. Следовательно, у рассматриваемой системы связанных маятников имеется m = 11 мод собственных дви-
жений. Как показано в предыдущих опытах, форма каждой моды зависит от начальных условий возбуждения колебаний и
имеет собственную нормальную частоту. Для наблюдения первой моды m = 1 выводят центральный маятник периодической
структуры из положения равновесия и предоставляют ему возможность совершать свободные колебания. Наблюдая за коле-
баниями элементов системы, отмечают, что все они, кроме крайних закрепленных, совершают колебания с одинаковой час-
тотой
1
ω , но различной амплитудой (рис. 61, а), т.е. tx
10
sin)(
ω
ψ
=
ψ
, где
(
)
x
0
ψ
– амплитуда элементов, которая зависит от
их положения, т.е. от координаты x. Эта зависимость для первой моды движения может быть представлена в виде
()
x
L
x
m
π
ψ=ψ sin
0
,
где L – длина периодической дискретной структуры. Таким образом, уравнение колебаний любо-
го элемента структуры для первой моды имеет вид
tx
L
m 1
sinsin ω
π
ψ=ψ .
Для возбуждения второй моды m = 2 движения приводят в колебания элементы с порядко-
выми номерами n = 4 и n = 10 так, чтобы они совершали свободные колебания с разностью фаз,
равной
π (рис. 61, б). Наблюдая за колебаниями системы, отмечают, что все элементы структуры
колеблются с одинаковой частотой
2
ω
, причем
12
ω
>
ω
, но с различной амплитудой. Амплитуда
колебаний крайних элементов и центрального равна нулю. Уравнение движения элементов для
второй моды имеет вид
tx
L
m 2
sin2sin ω
π
ψ=ψ
.
На рис. 61, в показана конфигурация третьей моды (m = 3). Движение элементов подчиняет-
ся уравнению
Рис. 61
а)
б)
в)
г)
д)

Страницы