ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
[]
=+−== kji
kji
ACAB
r
rr
r
r
r
12
31
32
21
31
23
312
231
()()
(
)
kjikji
r
r
r
r
r
r
57614329 −+=−+−−−= .
Вектор
{}
5;1;7 −=
= ACABn
r
является нормальным вектором плоскости, проходящей через точ-
ки А, В, С.
Подставив в уравнение (1) a = 7, b = 1, c = –5, x
0
= 2, y
0
= 0, z
0
= 1, получим искомое уравнение
плоскости 7(x – 2) + (y – 0) – 5(z – 1) = 0 или 7x + y – 5z – 9 = 0.
б) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку (x
0
; y
0
; z
0
) и имеющей направляю-
щий вектор
{}
plmS ;;=
v
, имеют вид
p
zz
l
yy
m
xx
000
−
=
−
=
−
. (2)
Направляющий вектор прямой АВ
{
}
2;3;1== ABS
AB
r
. За x
0
, y
0
, z
0
можно принять соответствующие
координаты любой из точек А, В. Подставив в (2) x
0
= 1, y
0
= –3, z
0
= –1, m = 1, l = 3, p = 2, получим
канонические уравнения прямой АВ:
2
1
3
3
1
1
+
=
+
=
−
zyx
. (3)
Обозначив в (3) каждое из равных отношений через t, где t – параметр (незафиксированное чис-
ло), перейдём к параметрическим уравнениям прямой АВ
−=
−=
+=
.12
,33
,1
tz
ty
tx
в) Так как прямая l
1
параллельна прямой АВ, то за её направляющий вектор
1
S
r
можно принять
вектор
{}
2;3;1== ABS
AB
r
. Прямая l
2
перпендикулярна плоскости АВС, поэтому за её направляющий
вектор
2
S
r
можно принять нормальный вектор плоскости АВС, найденный в пункте «а». Итак,
{}
2;3;1
1
=S
r
,
{}
5;1;7
2
−=S
r
. Воспользовавшись уравнениями (2) и полагая в них x
0
= 0, y
0
= 0, z
0
= 0, по-
лучим канонические уравнения прямой l
1
231
zyx
==
и прямой l
2
517 −
==
zyx
.
г) За нормальный вектор указанной плоскости можно принять вектор
{}
2;3;1=AB . Воспользо-
вавшись уравнением (1) и полагая в нём a = 1, b = 3, c = 2, x
0
= 0, y
0
= 0, z
0
= 0, получим уравнение
плоскости x + 3y + 2z = 0, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой АВ.
7. Приведите к канонической форме уравнения указанных линий: а) 5x
2
+ 9y
2
– 30x + 18y + 9 = 0;
б) y
2
+ x – 2y + 1 = 0 и изобразите их на координатной плоскости.
Выполнение задания:
а)
(
)
(
)
⇔−++−⇔=++−+ 918930509183095
2222
yyxxyxyx
(
)
(
)
(
)
(
)
⇔−=−+++−+⋅−⇔−=++−⇔ 911299332592965
22222
yyxxyyxx
()()
()
(
)
⇔=++−⇔−=−+++−+⋅−⇔ 45193599129453325
22
222
yxyyxx
() () ()()
1
5
1
9
3
45
45
45
19
45
35
2222
=
+
+
−
⇔=
+
+
−
⇔
yxyx
.
Последнее уравнение является каноническим уравнением эллипса с центром в точке (3; –1) и по-
луосями 5,3 == ba . Он изображён на рис. 2.
б)
()
xyxyyyxy −=−⇔−=+−⇔=+−+
2
22
112012 .
