ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2
,
2
BC
M
BC
M
yy
y
xx
x
+
=
+
= ,
где (x
C
; y
C
) и (x
B
; y
B
) – координаты точек С и В соответственно. Таким образом:
1
2
02
,4
2
53
=
+
==
+
=
MM
yx .
Воспользовавшись уравнением (1) и полагая в нём x
1
= –4, y
1
= 1, x
2
= 4, y
2
= 1, получим уравнение
медианы АМ:
11
1
44
4
−
−
=
+
+
yx
, или
0
1
8
4 −
=
+
yx
, или
(
)
(
)
1840
−
=
+
yx , окончательно y – 1 = 0 или y = 1.
г) Прямая l, проходящая через вершину С параллельно стороне АВ, имеет угловой коэффициент
9
1
−==
ABl
kk
(найден в пункте «б»). Подставляя в уравнение (3) x
0
= 3, y
0
= 2,
9
1
−==
l
kk
, получим
уравнение прямой l:
()
3
9
1
2 −−=− xy или x + 9y – 21 = 0.
Прямая, проходящая через вершину С перпендикулярно стороне АВ, есть прямая СН.
Её уравнение найдено в пункте «б».
д) Расстояние d между двумя известными точками на плоскости (x
1
; y
1
) и (x
2
; y
2
) находится по
формуле
()()
2
12
2
12
yyxxd −+−= . (4)
Заметим, что CHd = . Точка Н является точкой пересечения прямых АВ и СН (их уравнения най-
дены в пунктах «а» и «б» соответственно), поэтому её координаты найдём, решив систему уравнений
=−
=+
.259
,59
yx
yx
Выразив из первого уравнения системы переменную х через у и подставив её во второе
уравнение, будем иметь систему, равносильную заданной:
()
=−−
−=
.25959
,95
yy
yx
(6)
2082 =⇔ y
, откуда
41
10
=y
. Тогда из уравнения (5)
41
115
41
10
95 =⋅−=х . Итак, имеем точки
(
)
2;3C и
41
10
;
41
115
H . Подставляя в формулу (4)
41
10
,
41
115
,2,3
2211
==== yxyx , получим
41
5248
41
518464
41
72
41
8
2
41
10
3
41
115
2
2222
=
+
=
−+
−=
−+
−=d (ед.).
6.
∗
По координатам точек А(1; –3; –1), В(2; 0; 1), С(3; 2; 2), указанных в задании 4, напишите:
а) уравнение плоскости, проходящей через три точки;
б) канонические и параметрические уравнения прямой АВ;
в) уравнения прямых l
1
и l
2
, проходящих через начало координат, первая из которых параллельна
прямой АВ, а вторая – перпендикулярна плоскости АВС;
г) уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой АВ.
Выполнение задания:
а) Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку (x
0
; y
0
; z
0
) и имеющей нормальный век-
тор
{}
cban ;;=
r
, имеет вид
(
)
(
)
(
)
0
000
=−
+
−
+
−
zzcyybxxa . (1)
За x
0
, y
0
, z
0
можем принять соответствующие координаты любой из заданных точек А, В, С. Нор-
мальный вектор плоскости найдём следующим образом.
{}
2;3;1=AB ,
{}
3;1;2=AC ,
(5)
(6)
