ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
149
энергии взаимодействия не обладает какой-либо малостью при
малых
k
r
. Кроме того, при выражении величин в (6.7) через
операторы рождения и уничтожения фононов (формула (7.26)),
мы получаем сомножители
j
sl
u
,
r
2/1
)(2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
kNM
ps
r
h
ω
, которые также
входят в
),,,,,(
121
kkgpppC
r
r
r
. Поскольку для
длинноволновых акустических фононов пропорциональны k, то
каждый такой сомножитель дает величину k
)(k
p
r
ω
-1/2
. В итоге
матричный элемент
),,,,,(
121
kkgpppC
r
r
r
оказывается
пропорциональным k
3/2
.
Элемент объема в обратном пространстве
k
d
r
3
при переходе
к сферическим координатам преобразуется в
d
k
k
2
4
π
.
Интегрирование по k снимается дельта-функцией в (10.23). В
итоге
оказывается пропорциональным характерному
значению k~Tq
1−
N
τ
D
/
θ
D
в пятой степени, то есть
τ
N
∝
T
-5
. (11.27)
Величина l
N
~ s
τ
N
также ведет себя, как T
-5
.
Следовательно,
(смотри формулу (11.25)).
Подставляя в выражение (11.15) для коэффициента
теплопроводности κ, получаем
5
Tl
U
∝
∗
∗
U
l
κ
∝
D
2
T
8
. (11.28)
Таким образом, в области температур T~T
1
зависимость
κ
∝
3
T
сменяется на зависимость κ
∝
8
T
. При дальнейшем росте
температуры значение κ достигает максимума при
∗
=
T
T
, а
потом падает с увеличением температуры как
. При
T~
θ
)/exp(
0
TE
D
эта зависимость сменяется законом κ
∝
1
−
T
. Общий вид
149
энергии взаимодействия не обладает какой-либо малостью при
r
малых k . Кроме того, при выражении величин u rj в (6.7) через
l ,s
операторы рождения и уничтожения фононов (формула (7.26)),
1/ 2
⎛ h ⎞
мы получаем сомножители ⎜ r ⎟ , которые также
⎜ 2 NM sω p (k ) ⎟
⎝ ⎠
r r r r
входят в C ( p, p1, p2 , g , k , k1 ) . Поскольку ω p (k ) для
длинноволновых акустических фононов пропорциональны k, то
-1/2
каждый такой сомножитель дает величину k . В итоге
r r r
матричный элемент C ( p, p1, p2 , g , k , k1 ) оказывается
пропорциональным k3/2.
r
Элемент объема в обратном пространстве d 3k при переходе
к сферическим координатам преобразуется в 4πk 2 dk .
Интегрирование по k снимается дельта-функцией в (10.23). В
итоге τ N−1 оказывается пропорциональным характерному
значению k~TqD/θD в пятой степени, то есть
τN ∝ T -5. (11.27)
Величина lN ~ sτ N также ведет себя, как T -5.
Следовательно, lU∗ ∝ T 5 (смотри формулу (11.25)).
Подставляя lU∗ в выражение (11.15) для коэффициента
теплопроводности κ, получаем
κ ∝ D2T 8. (11.28)
Таким образом, в области температур T~T1 зависимость
κ ∝ T 3 сменяется на зависимость κ ∝ T 8 . При дальнейшем росте
температуры значение κ достигает максимума при T = T ∗ , а
потом падает с увеличением температуры как exp( E0 / T ) . При
T~θD эта зависимость сменяется законом κ ∝ T −1. Общий вид
