ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
148
N
lDvl
UU
/~
~
~
2∗∗
τ
. (11.25)
Поскольку l
N
убывает с повышением температуры, то
растет по мере возрастания Т. Используя формулу (11.25), легко
найти температуру T*, ниже которой столкновения с
поверхностью начинают играть доминирующую роль.
Необходимо, чтобы выполнилось неравенство
*
U
l
U
U
ll <
∗
или
2
Dll
UN
>
.
При температуре
∗
T
, для которой
2
)()( DTlTl
UN
=
∗
∗
, (11.26)
произойдет переход от зависимости (11.19) к степенной
зависимости κ
∝
α
T
. Таким образом, при T=
∗
T
имеет место
максимум коэффициента теплопроводности (смотри рис.11.1).
Для нахождения показателя α необходимо оценить величину
N
τ
(формула (10.23)) для тепловых фононов с
DD
Tqk
θ
/~ . Для
них величина
.
1~)( >< kn
p
r
Найдем зависимость
),,,,,(
121
kkgpppC
r
r
r
от волновых
векторов, считая, что все они одного порядка. Матричный
элемент
представляет собой результат Фурье-
преобразования четвертого слагаемого в (6.7) по трем
координатам
, по которым происходит дифференцирование.
При вычислении интеграла Фурье его можно взять по частям и
перенести дифференцирование по на экспоненту
),,,,,(
121
kkgpppC
rr
r
j
sl
r
,
r
j
sl
r
,
r
)exp(
,sl
rki
r
r
r
.
В результате каждого такого дифференцирования возникает
сомножитель k
j
. Отметим, что фурье-компонента потенциальной
148
lU∗ ~ v~τ U∗ ~ D 2 / l
N
. (11.25)
Поскольку lN убывает с повышением температуры, то lU*
растет по мере возрастания Т. Используя формулу (11.25), легко
найти температуру T*, ниже которой столкновения с
поверхностью начинают играть доминирующую роль.
Необходимо, чтобы выполнилось неравенство
lU∗ < lU
или
l N lU > D 2 .
При температуре T ∗ , для которой
l N (T ∗ )l U (T ∗ ) = D 2 , (11.26)
произойдет переход от зависимости (11.19) к степенной
зависимости κ ∝ T α . Таким образом, при T= T ∗ имеет место
максимум коэффициента теплопроводности (смотри рис.11.1).
Для нахождения показателя α необходимо оценить величину
τ N (формула (10.23)) для тепловых фононов с k ~ Tq D / θ D . Для
r
них величина < n p (k ) >~ 1.
r r r
Найдем зависимость C ( p, p1, p2 , g , k , k1 ) от волновых
векторов, считая, чтоr все они одного порядка. Матричный
r r
элемент C ( p, p1, p2 , g , k , k1 ) представляет собой результат Фурье-
преобразования четвертого слагаемого в (6.7) по трем
координатам rlrj, s , по которым происходит дифференцирование.
При вычислении интеграла Фурье его можно взять по частям и
j
rr
перенести дифференцирование по rl , s на экспоненту exp(ik rlr ,s ) .
r
В результате каждого такого дифференцирования возникает
сомножитель kj. Отметим, что фурье-компонента потенциальной
