Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы. Морозов А.И. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

96
может быть проведена до конца. Но мы с вами рассмотрим те
случаи, когда это удается сделать.
7.3. Фононы
Задача об одном гармоническом осцилляторе была решена в
курсе квантовой механики. В частности, было показано, что
собственные значения энергии осциллятора
равны
n
E
)2/1(
+
=
nE
n
ω
h , (7.13)
где
ω
- частота гармонического осциллятора, а n=0, 1, 2… - номер
уровня.
В силу эквидистантности уровней энергии гармонического
осциллятора можно считать, что
n - это число квантов энергии
величиной
ω
h
в данном состоянии.
Энергия колебаний кристаллической решетки представляет
собой сумму энергий этих 3
nN осцилляторов:
∑
∑
+=
p
k
pp
knkE
r
r
r
h ]2/1)()[(
ω
. (7.14)
Кроме того, можно ввести для каждого осциллятора
операторы
)(
ˆ
ka
p
r
и
)(
ˆ
ka
p
r
+
- операторы уничтожения и рождения
кванта
2/1
2/1
2/1
)2/()(
ˆ
~
))((
)(
ˆ
~
)(
)(
ˆ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= kP
k
i
kq
k
ka
p
p
p
p
p
r
r
h
r
h
r
r
ω
ω
, (7.15)
2/1
2/1
2/1
)2/()(
ˆ
~
))((
)(
ˆ
~
)(
)(
ˆ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
+
kP
k
i
kq
k
ka
p
p
p
p
p
r
r
h
r
h
r
r
ω
ω
, (7.16) 
                                       96

может быть проведена до конца. Но мы с вами рассмотрим те
случаи, когда это удается сделать.

                                7.3. Фононы

   Задача об одном гармоническом осцилляторе была решена в
курсе квантовой механики. В частности, было показано, что
собственные значения энергии осциллятора E n равны

                               E n = hω (n + 1 / 2) ,                       (7.13)

где ω - частота гармонического осциллятора, а n=0, 1, 2… - номер
уровня.
    В силу эквидистантности уровней энергии гармонического
осциллятора можно считать, что n - это число квантов энергии
величиной hω в данном состоянии.
    Энергия колебаний кристаллической решетки представляет
собой сумму энергий этих 3nN осцилляторов:
                                    r        r
                      E = ∑∑
                           r
                             hω p (k )[n p (k ) + 1 / 2] .                  (7.14)
                             p k


     Кроме того, можно ввести для каждого осциллятора
                r        +
                            r
операторы aˆ p (k ) и aˆ p (k ) - операторы уничтожения и рождения
кванта

                   r 1/ 2
         r ⎡⎛ ω p (k ) ⎞ ~ r                i         ~ˆ r ⎥
                                                             ⎤
   aˆ p (k ) = ⎢⎜      ⎟  ˆ
                          q p (k ) +                               1/ 2
                                              r 1 / 2 Pp (k ) /( 2) ,       (7.15)
               ⎢⎜ h ⎟                (hω p (k ))             ⎥
               ⎣⎝      ⎠                                     ⎦

         r    ⎡⎛ ω (kr ) ⎞1 / 2   r                        r ⎤
              ⎢                              i         ~
                                                       ˆ
   aˆ p (k ) = ⎜                ~
                         ⎟ q p (k ) −          r 1 / 2 Pp (k )⎥ /( 2) ,
      +           p             ˆ                                    1/ 2
                                                                            (7.16)
              ⎢⎜ h ⎟                  (hω p (k ))             ⎥
              ⎣⎝         ⎠                                    ⎦

Страницы