ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
∂S
∂V
T
=
∂p
∂T
V
,
∂U
∂V
T
= T
∂p
∂T
V
− p.
p = p(V, T )
ν
∂p
∂T
V
=
R
V − b
.
∂U
∂V
T
=
a
V
2
.
T = const
U(V, T ) = −
a
V
+ f(T ),
f(T )
V → ∞
f(T ) =
C
v
T
U(V, T ) = C
v
T −
a
V
.
T V
Ïîäñòàíîâêà ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ (8.23) ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó
∂S ∂p
= , (8.24)
∂V T ∂T V
êîòîðîå ïîçâîëÿåò èñêëþ÷èòü â (8.19) ïðîèçâîäíóþ ýíòðîïèè ïî îáúåìó.  ðåçóëü-
òàòå ìû ïðèõîäèì ê ôîðìóëå
∂U ∂p
=T − p. (8.25)
∂V T ∂T V
Çàìåòèì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîé ôîðìóëû ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà, åñëè èçâåñòíî
óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ p = p(V, T ). Íàïðèìåð, ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ óðàâíåíè-
åì Âàí-äåð-Âààëüñà. Çàïèñàâ åãî â âèäå (8.11) (äëÿ ïðîñòîòû ñ÷èòàåì, ÷òî ÷èñëî
ìîëåé ν ðàâíî åäèíèöå), íàõîäèì
∂p R
= .
∂T V V −b
Òåïåðü èç ôîðìóëû (8.25) ñëåäóåò, ÷òî
∂U a
= 2. (8.26)
∂V T V
Èíòåãðèðîâàíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ âäîëü èçîòåðìû (T = const) äàåò
a
U (V, T ) = − + f (T ), (8.27)
V
ãäå f (T ) "ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ"; îíà ìîæåò çàâèñåòü îò òåìïåðàòóðû. Òàê
êàê ïðè V → ∞ âûðàæåíèå äëÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè ãàçà Âàí-äåð-Âààëüñà äîëæíî
ïåðåõîäèòü â âûðàæåíèå (8.17) äëÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè èäåàëüíîãî ãàçà, òî f (T ) =
Cv T è, ñëåäîâàòåëüíî,
a
U (V, T ) = Cv T − . (8.28)
V
Îòñþäà âèäíî, ÷òî âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ãàçà Âàí-äåð-Âààëüñà ìåíüøå, ÷åì âíóòðåí-
íÿÿ ýíåðãèÿ èäåàëüíîãî ãàçà ïðè òåõ æå ñàìûõ T è V . Â ýòîì ïðîÿâëÿåòñÿ ðîëü
ñèë ïðèòÿæåíèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè.
Òîò ôàêò, ÷òî âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ðåàëüíîãî ãàçà çàâèñèò íå òîëüêî îò òåìïå-
ðàòóðû, íî è îò îáúåìà, èñïîëüçóåòñÿ â òåõíèêå äëÿ ïîëó÷åíèÿ íèçêèõ òåìïåðàòóð
è äëÿ ñæèæåíèÿ ãàçîâ. Ê ñîæàëåíèþ, ìû íå ìîæåì çäåñü óãëóáèòüñÿ â èíòåðåñíóþ
îáëàñòü òåõíèêè íèçêèõ òåìïåðàòóð èëè õîòÿ áû îáñóäèòü òåðìîäèíàìè÷åñêèå èäåè,
ëåæàùèå â åå îñíîâå72 . Ïðèâåäåì ëèøü îäèí ïðèìåð ïðîöåññà, êîòîðûé ïðèâîäèò ê
îõëàæäåíèþ íåèäåàëüíîãî ãàçà è êîòîðûé íå äàåò ýôôåêòà, åñëè ãàç èäåàëåí. Ðàñ-
ñìîòðèì ðàñøèðåíèå ãàçà "â ïóñòîòó", ò.å. áåç ñîâåðøåíèÿ ðàáîòû (ñì. Ðèñ. 5.4).
72 Ôèçè÷åñêèåïðèíöèïû ïîëó÷åíèÿ íèçêèõ òåìïåðàòóð è ìåòîäû ñæèæåíèÿ ãàçîâ
ïîäðîáíî ðàññìîòðåíû â ó÷åáíèêå [2].
95
