Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

52 53
Определённый интеграл
Теперь можно применить стандартную схему. Вычислим беско-
нечно малые элементы площадей
1
F и
2
F (соответствующие вертикаль-
ные полоски показаны на чертеже):
dxxedF
x
))1((
2
1
−−=
,
dxxedF
x
))1((
22
2
−−=
−
.
Тогда
.
3
5
3
1
1)
3
())1((
0
1
0
3
1
0
2
1
−=−+−=+−=−−=
∫
eee
x
xedxxeF
xx
=+−−=−−=
−−
∫
2
1
3
2
2
1
22
2
)
3
())1((
x
xedxxeF
xx
.
3
1
)
3
1
1(
3
8
2
0
+=+−−−+−−= eee
В итоге
.
3
4
2 −= eF
В. Рассмотрим фигуру, ограниченную линиями
cy =
,
)( dc <
,
)(),(
21
yxyx
ϕ=ϕ=
(
)()(
21
yy
ϕ≤ϕ
при
],[ dcy ∈
) (рис. 22).
Рис. 22
O
y
)(
2
yx ϕ=
)( ydF
)(
1
yx ϕ=
x
d
yy ∆+
c
y
Вычислим её площадь. За бесконечно малый элемент площади
примем площадь заштрихованной полоски с высотой
dyy =∆
и шири-
ной, равной
)()(
12
yy ϕ−ϕ
. Тогда
,))()((
12
dyyydF
ϕ−ϕ=
( )
.)()(
12
∫
ϕ−ϕ=
d
c
dyyyF
Пример 2.1.14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной пра-
вой ветвью гиперболы
3
22
=− yx
и параболой
03
2
=−+ xy
.
Решение. Построим заданные в условии кривые (рис. 23)
Рис. 23
O
y
x
1
yy ∆+
1−
3231
2
3 yx −=
2
3 yx +=
)( ydF
y
dy
и найдём их точки пересечения. Для этого решим систему уравнений
−=
>=−
.3
;0,3
2
22
xy
xyx
Глава 2. Приложения определённого интеграла

Страницы