Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

48 49
Определённый интеграл
Определим
dF
– бесконечно малый элемент вычисляемой
площади. Он равен площади прямоугольника, заштрихованного
на рис. 17, т. е.
.)45(])1()33[(
22
dxxxdxxxdF −+−=−−−=
Интегрируем его в пределах изменения переменной
x
от 1 до 4
и получаем искомую площадь:
=−+−=−+−=
∫
4
1
23
4
1
2
)4
2
5
3
()45( x
xx
dxxxF
.
2
9
)4
2
5
3
1
()1640
3
64
( =−+−−−+−=
Пример 2.1.10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями
.6,4
2
=++= yxxxy
Решение. Построим заданную фигуру (рис. 18).
Рис. 18
4−
y
12
xy −= 6
5
xOdx 16−
xxy 4
2
+=
Найдём точки пересечения указанных в условии линий. Решим
для этого систему уравнений
=+
+=
.6
;4
2
yx
xxy
Она равносильна системе
−=
=−+
,6
;065
2
xy
xx
откуда
=
−=
=
=
.12
;6
;5
;1
y
x
y
x
Бесконечно малый элемент
dF
вычисляемой площади равен пло-
щади прямоугольника, заштрихованного на рис. 18, т. е.
.)65()]4()6[(
22
dxxxdxxxxdF +−−=+−−=
Искомую площадь получаем, проинтегрировав полученный ре-
зультат в пределах изменения переменной
x
от –6 до 1. Тогда
=+−−=+−−=
−
−
∫
1
6
23
1
6
2
)6
2
5
3
()65( x
xx
dxxxF
.
6
343
)369072(6
2
5
3
1
=−−−+−−=
Пример 2.1.11. Вычислить
площадь фигуры, ограниченной
линиями
,1,1,0 +=== xyxx
.1arccos −= xy
Решение. Построим задан-
ную фигуру (рис. 19).
Бесконечно малый элемент
dF
искомой площади равен
площади заштрихованного на
рис. 19 прямоугольника и вы-
числяется по формуле
.)arccos2()]1(arccos)1[( dxxxdxxxdF −+=−−+=
Глава 2. Приложения определённого интеграла
y
1−
Рис. 19
xO 1
12 −π
1
1cosarc −= xy
1+= xy
2

Страницы