Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

46 47
Определённый интеграл
.9
3
2
3
0
2
∫
−= dxxF
Чтобы вычислить интеграл, используем замену переменной
])
2
,
2
[(sin3
ππ
−∈= ttx
. Тогда
tdtdx cos3=
и
tx cos39
2
=−
. Значе-че-
нию
0=x
соответствует значение
0=t
, а значению
3=x
соответству-у-
ет значение
2
π
=t
. Получаем:
.
4
9
)2sin
2
1
(
2
9
)2cos1(
2
9
cos99
2
0
2
0
2
0
2
3
0
2
π
=+=+==−
π
ππ
∫∫∫
ttdtttdtdxx
Окончательно
2
3
π
=F
.
Б. Рассмотрим фигуру, ограниченную линиями
ax =
,
bx =
)( ba <
,
)(),(
21
xfyxfy
==
(
)()(
xfxf
при
],[ bax ∈
). Она изобра-
жена на рис. 16.
Вычислим её площадь.
За бесконечно малый элемент
площади примем площадь
заштрихованной полоски
шириной
dx
и высотой, рав-
ной
)()(
12
xfxf −
.
Тогда
( )
.)()(
,))()((
12
12
∫
−=
−=
b
a
dxxfxfF
dxxfxfdF
Пример 2.1.9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лини-
ями
.)1(,33
2
−=−= xyxy
Решение. Найдем точки пересечения прямой и параболы и пост-
роим заданную фигуру (рис. 17).
Рис. 17
xdxxx 41 +
O
y
9
2
)1( −= xy
33 −= xy
Для этого решим систему уравнений
−=
−=
.)1(
;33
2
xy
xy
Она равносильна системе
=−−−
−=
,0)1(3)1(
);1(3
2
xx
xy
или
=−−
−=
,0)4)(1(
);1(3
xx
xy
откуда
=
=
=
=
.9
;4
;0
;1
y
x
y
x
Рис. 16
O
y
)(
2
xfy =
)(xdF
)(
1
xfy =
xdxxx +
ba
Глава 2. Приложения определённого интеграла

Страницы