Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

42 43
Определённый интеграл
Решение. Рассматривае-
мая фигура является криволи-
нейной трапецией, ограничен-
ной сверху графиком функции
xy ln=
, а слева и справа –
прямыми
3,1 == xx
соответ-
ственно. Её площадь вычисля-
ется по формуле
∫
=
3
1
ln xdxF
.
Используем формулу интегрирования по частям и получим:
23ln3)ln(ln
3
1
3
1
3
1
−=−==
∫∫
dxxxxdxF
.
Пример 2.1.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лини-
ями
exexxyy ====
−
,,ln,0
2
(рис. 11).
1
y
xeeO 321
2−
xy ln=
xy ln−=
1
F
2
2
F
–1
–2
Рис. 11
Решение. Площадь заданной фигуры следует рассматривать как
сумму площадей двух криволинейных трапеций. Пусть
1
F
– площадь
криволинейной трапеции, ограниченной линиями
2−
=
ex
,
1=x
,
0=y
,
xy ln−=
, а
2
F
– площадь криволинейной трапеции, ограниченной
линиями
xyyexx ln,0,,1 ====
. Тогда площадь всей фигуры
21
FFF
+=
,
где
∫
−
−=
1
1
2
)ln(
e
dxxF
,
∫
=
e
xdxF
1
2
ln
.
Вычисляем интегралы, используя формулу интегрирования
по частям.
.13)2()1(
)ln(ln)ln(
222
1
11
1
2
22
+−=−−+−−=
=−−=−=−=
−−−
−
−−
∫∫
eee
xxxxdxdxxF
e
ee
.1)1()ln(ln
1
1
2
=−−−=−==
∫
eexxxxdxF
e
e
Итак,
2
21
32
−
−=+= eFFF
.
Пример 2.1.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лини-
ями
π==== 2,0,
2
sin,0 xx
x
yy
(рис. 12).
Решение. Воспользуемся
формулой для вычисления пло-
щади криволинейной трапеции.
Тогда
4)0cos(cos2
2
cos2
2
sin
2
0
2
0
=−π−=−==
π
π
∫
x
dx
x
F
.
1
y
xy ln=
Рис. 10
xeO 321
xO ππ 2
1
y
2
sin
x
y =
Рис. 12
Глава 2. Приложения определённого интеграла

Страницы