Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

40 41
Определённый интеграл
Замечание. Во всех последующих задачах будем сразу выражать
бесконечно малый элемент вычисляемой величины точным равенством
вида (42). Тот факт, что при его вычислении исключались величины бо-
лее высокого порядка, чем
xdx ∆=
, оставляем всюду без доказательства.
2.2. Геометрические приложения определённого интеграла
2.2.1. Вычисление площадей
А. Площадь F криволинейной трапеции, ограниченной линиями
0,, === ybxax
,
)(xfy =
(
0)(, ≥< xfba
при
],[ bax ∈
) вычис-
ляется по формуле
.)(
∫
=
b
a
dxxfF
(44)
Она получена так. Выделяем промежуток
],[ dxxx +
. Ему соот-
ветствует элемент площади
F∆
, заштрихованный на рис. 7. В качествее
бесконечно малого элемента
dF
возьмём площадь прямоугольникаа
с шириной
и высотой
)(xf
. Тогдада
dxxfdF )(=
. (45)
Рис. 7
bdxxxa +
O
)(xfy =
x
)(xF∆
)(xf
y
Затем интегрируем равенство (45) на промежутке
],[ ba
и получа-
ем формулу (44). Заметим здесь, что формула (44) справедлива также
в силу геометрического смысла определённого интеграла.
Пример 2.1.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лини-
ями
9,,0 === xxyy
(рис. 8).
Решение. Данная фигура яв-
ляется криволинейной трапецией.
Её площадь вычисляется по фор-
муле
∫
=
9
0
dxxF
,
откуда
1827
3
2
3
2
9
0
2
3
=⋅== xF
.
Пример 2.1.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лини-
ями
2,1,2,0 =−=== xxyy
x
(рис. 9).
Решение. Данная фигура является
криволинейной трапецией. Её площадь
вычисляется по формуле
∫
−
=
2
1
2 dxF
x
,
откуда
2ln2
7
)
2
1
4(
2ln
1
2
2ln
1
2
1
=−==
−
x
F
.
Пример 2.1.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лини-
ями
3,ln,0 === xxyy
(рис. 10).
Глава 2. Приложения определённого интеграла
x987654321
1
2
3
y
xy =
Рис. 8
O
xO 211−
1
2
3
4
y
x
y 2=
Рис. 9

Страницы