Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

38 39
Определённый интеграл
Вычислим
∫
ε−
−−
2
0
2)3( xx
dx
, сделав замену переменной
)0(2
2
>−= zxz
. Найдём
zdzdx 2−=
и новые пределы интегрирова-а-
ния
ε=ε−= )2(,2)0( zz
. Тогда
=−=
+
−=
+
−=
−−
ε
εεε−
∫∫∫
2
2
2
2
2
2
0
arctg2
)1(
2
)1(
2
2)3(
z
z
dz
zz
zdz
xx
dx
.arctg22arctg2 ε−=
В итоге
.2arctg2arctglim22arctg2
2)3(
0
2
0
=ε−=
−−
+→ε
∫
xx
dx
Пример 10.11. Вычислить несобственный интеграл
∫
1
0
ln xdx
или доказать его расходимость.
Решение. Подынтегральная функция стремится к
∞−
при стрем-
лении переменной x к нулю справа. Согласно определению
∫∫
ε
+→ε
=
1
0
1
0
lnlimln xdxxdx
.
Применим метод интегрирования по частям, выбрав
dxdvxu == ,ln
, и вычислим
.1lnln)ln(ln
1
1
1
1
ε+−εε−=−εε−=−=
ε
ε
ε
ε
∫∫
xdxxxxdx
Вычисляя предел полученного выражения, воспользуемся прави-
лом Лопиталя. Тогда
11
1
1
lim1
1
ln
lim)1ln(limln
2
000
1
0
−=−
ε
−
ε
−=−
ε
ε
−=ε+−εε−=
+→ε+→ε+→ε
∫
xdx .
Глава 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
2.1. Общий подход к приложениям определённого интеграла
Прежде чем использовать определённый интеграл для нахожде-
ния неизвестных величин в области геометрии, механики и физики,
изложим общий подход к решению прикладных задач с применением
определённого интеграла. Отметим, что при этом обобщаются рассуж-
дения, изложенные нами при вычислении площади криволинейной
трапеции.
Пусть нужно найти значение некоторой величины G, являющей-
ся функцией промежутка
],[ ba
. При этом предполагается, что если
( )
bcabccaba
<<∪=
],[],[],[
, то значение G для промежутка
],[ ba
равно сумме значений G для промежутков
и
],[ bc
. Для вычисле-
ния величины G выполним следующие действия:
1. Выделим внутри отрезка
],[ ba
элементарный отрезок
],[ xxx ∆+
, где
x∆
– бесконечно малая величина. Пусть
G∆
– значение
величины G для промежутка
],[ xxx ∆+
, а
dG
– значение, удовлетворя-
ющее условию
)( xodGG ∆+=∆
, (41)
где
)( xo ∆
– бесконечно малая величина более высокого порядка малости,
чем
dxx =∆
. Назовём
dG
бесконечно малым элементомом величины
G
.
2. Исходя из условий задачи, составим формулу для вычисления
бесконечно малого элемента dG:
dxxgdG )(=
, (42)
«пожертвовав» величинами более высокого порядка малости, чем
xdx ∆=
.
3. Вычислим величину G, интегрируя равенство (42) на проме-
жутке
],[ ba
. Тогда
.)(
∫
=
b
a
dxxgG
(43)

Страницы