Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

34 35
Определённый интеграл
Этот предел называется несобственным интегралом функции
)(xf
от a до b, или несобственным интегралом I рода, и обозначает-
ся как обычно:
∫
b
a
dxxf )(
. (37)
Если предел (36) существует и конечен, то говорят, что интеграл
(37) существует, или сходится, а функция
)(xf
интегрируема на про-
межутке
],[ ba
. Если предел (36) бесконечен или не существует, то го-
ворят, что интеграл (37) не существует, или расходится.
Пример 10.5
2)22(lim)12(lim
1
lim
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
=+ε−=−−=
−
=
−
+→ε
ε−
+→ε
ε−
+→ε
∫∫
x
x
dx
x
dx
.
Пример 10.6
2
)1arcsin(limarcsinlim
1
lim
1
0
1
0
0
1
0
2
0
1
0
2
π
=ε−==
−
=
−
+→ε
ε−
+→ε
ε−
+→ε
∫∫
x
x
dx
x
dx
.
Пусть теперь функция
)(xf
задана, ограничена и интегрируемаа
на любом отрезке
)0(],[ >εε+ ba
, но в точке
ax =
функция
)(xf
яв-
ляется бесконечно большой, т. е.
∞=
+→
)(lim
0
xf
ax
. Тогда несобственный
интеграл функции
)(xf
в пределах от a до b определяется равенствомм
.)(lim)(
0
∫∫
ε+
+→ε
=
b
a
b
a
dxxfdxxf
(38)
Если предел, стоящий в правой части (38), существует и конечен,
то говорят, что несобственный интеграл существует, или сходится, а
функция
)(xf
интегрируема на промежутке
],[ ba
. Если же предел бес-с-
конечен или не существует, то говорят, что интеграл не существует,
или расходится.
Пример 10.7
.)ln(limlnlimlim
0
1
0
1
0
1
0
∞=ε−===
+→ε
ε
+→ε
ε
+→ε
∫∫
x
x
dx
x
dx
Таким образом, рассматриваемый интеграл расходится.
Теперь рассмотрим случай, когда функция
)(xf
определена, огра-
ничена и интегрируема в промежутках
),[ ca
и
],( bc
и является беско-о-
нечно большой в точке
, т. е.
∞=
→
)(lim xf
cx
. Тогда несобственный
интеграл функции
)(xf
в пределах от a до b определяется равенствомм
.)(lim)(lim)(
2
0
2
1
0
1
∫∫∫
ε+
+→ε
ε−
+→ε
+=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf
(39)
Если оба предела в правой части (39) существуют и конечны при
стремлении к нулю
1
ε
и
)0,0(
212
>ε>εε
произвольно и независи-
мо друг от друга, то несобственный интеграл сходится. В противном
случае он расходится. Сравнивая (36), (38) и (39), видим, что справед-
ливо равенство
∫∫∫
+=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
. (40)
Несобственный интеграл в левой части (40) сходится, если схо-
дятся оба несобственных интеграла в правой части. Если хотя бы один
из интегралов справа расходится, то расходится и исходный интеграл
слева.
Главным значением несобственного интеграла функции
)(xf
отт
a до b в этом случае называется конечный предел
))()((lim
0
∫∫
ε+
ε−
+→ε
+
b
c
c
a
dxxfdxxf
,
если он существует. Главное значение обозначается так:
∫
b
a
dxxf )(V.p.
.
Пример 10.8. Вычислить несобственный интеграл
∫
−
3
0
2
4
dx
x
x
или доказать, что он расходится.
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства

Страницы