Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

32 33
Определённый интеграл
Тогда будем говорить, что функция
)(xf
интегрируема на всей
числовой оси и
∫∫∫
∞+
∞−
∞+
∞−
+=
c
c
dxxfdxxfdxxf )()()(
, (35)
где c – любое число, если оба интеграла в правой части (35) сходятся.
Вычисляя интегралы по бесконечным промежуткам, можно
пользоваться формулой Ньютона – Лейбница. Пусть функция
)(xF
является первообразной для функции
)(xf
в промежутке
),[ ∞+a
. Вве-е-
дём обозначение
)(lim)( AFF
A ∞+→
=+∞
,
если вычисляемый предел существует. Тогда
.)()()()(
∞+
∞+
=−+∞=
∫
a
a
xFaFFdxxf
Точно так же, если функция
)(xF
является первообразной для
функции
)(xf
в промежутке
],( b−∞
и если положить
),(lim)( BFF
B ∞−→
=−∞
то справедлива запись
.)()()()(
b
b
xFFbFdxxf
∞−
∞−
=−∞−=
∫
Тогда, если функция
)(xF
– первообразная для функции
)(xf
при
, тоо
.)()(
∞+
∞−
∞+
∞−
=
∫
xFdxxf
Пример 10.4. Вычислить
∫
∞+
−
0
2
dxxe
x
.
Сначала вычислим
∫
−
dxxe
x2
, применяя интегрирование по час-
тям. Положим
dxdvxu
x2
e,
−
==
. Получим
x
evdxdu
2
2
1
,
−
−==
.
Тогда
.
4
1
2
1
2
1
2
1
22222
Cexedxexedxxe
xxxxx
+−−=+−=
−−−−−
∫∫
Затем, применяя правило Лопиталя, найдём:
.0lim
2
1
2
1
liml imlim
2
22
2
====
−
+∞→+∞→+∞→
−
+∞→
x
x
x
x
x
x
x
x
e
ee
x
xe
Таким образом,
4
1
4
1
2
1
0
22
0
2
=
−−=
∞+
−−
∞+
−
∫
xxx
exedxxe
.
Рассмотрим по-прежнему функцию
)(xf
, интегрируемую на лю-
бом конечном промежутке. Пусть существует конечный предел вида
.)(lim
∫
−
+∞→
A
A
A
dxxf
Этот предел называется главным значением интеграла
∫
∞+
∞−
dxxf )(
и обозначается следующим образом:
∫
∞+
∞−
dxxf )(V.p.
.
1.10.2. Несобственный интеграл от неограниченной функции
Рассмотрим теперь конечный промежуток
],[ ba
, на котором фун-
кция
)(xf
не ограничена.
Пусть функция
)(xf
задана, ограничена и интегрируема на лю-
бом отрезке
)0(],[ >εε−ba
, но в точке
bx =
функция
)(xf
являетсяся
бесконечно большой, т. е.
∞=
−→
)(lim
0
xf
bx
.
Рассмотрим предел
∫
ε−
+→ε
b
a
dxxf )(lim
0
. (36)
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства

Страницы