Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

28 29
Определённый интеграл
Пример 9.5. Вычислить
∫
π
+
4
0
22
9tgcos
tg
xx
dxx
. Сделаем замену
xt tg=
. Найдём
x
dx
dxxdt
2
cos
)(tg =
′
=
и новые пределы интегрирова-а-
ния
1)
4
(,00tg)0( =
π
== tt
. Тогда
.
9
)9(
2
1
9
9tg
tgtg
9tg
)(tgtg
9tgcos
tg
1
0
2
2
1
0
2
4
0
2
4
0
2
4
0
22
∫∫
∫∫∫
+
′
+
=
+
=
=
+
=
+
′
=
+
πππ
t
dtt
t
dtt
x
xdx
x
dxxx
xx
dxx
Снова введём новую переменную
9
2
+= tz
, найдём
tdtdz 2=
и поменяем пределы интегрирования:
10)1(,9)0( == zz
. Получим
.310
2
1
9
)9(
2
1
10
9
10
9
1
0
2
2
−===
+
′
+
∫∫
z
z
dz
t
dtt
Пример 9.6. Вычислить
∫
3
5
3
3
sin
cos
x
dxx
. Сделаем замену
xt sin=
.
Найдём
dxxdxxdt cos)(sin =
′
=
и вычислим новые пределы интегри-
рования
2
3
)
3
(,00sin)0( =
π
== tt
. Тогда
=
′
−
==
∫∫∫
πππ
3
0
5
3
2
3
0
5
3
2
3
0
5
3
3
sin
)(sin)sin1(
sin
coscos
sin
cos
x
dxxx
x
dxxx
x
dxx
=−=−=
−
=
∫∫
−
2
3
0
5
12
5
2
2
3
0
5
7
5
3
2
3
0
5
3
2
]
12
5
2
5
[)(
1
ttdtttdt
t
t
.
4
3
16
35
4
3
4
3
12
5
4
3
2
5
555
=−=
Пример 9.7. Вычислить
∫
+
+
1
0
2
2
16
dx
e
ee
x
xx
. Сделаем замену
x
et
=
.
Найдём
dxedxedt
xx
=
′
= )(
и новые пределы интегрирования:
etet === )1(,1)0(
0
. Тогда
.
4
1
arctg
4
1
4
arctg
4
1
17ln
2
1
)16ln(
2
1
4
arctg
4
1
)16ln(
2
1
16
1
16
16
1
16
)()1(
16
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1
0
2
1
0
2
2
−+−+=
=++=
+
+
+
=
=
+
+
=
+
′
+
=
+
+
∫∫
∫∫∫
e
e
t
tdt
t
dt
t
t
dt
t
t
dx
e
ee
dx
e
ee
ee
ee
e
x
xx
x
xx
Пример 9.8. Вычислить
∫
−
2
0
2
4 dxx
.
Сделаем замену
tx sin2=
(30)
и найдём
tdtdttdx cos2)sin2( =
′
=
. Чтобы найти новые пределы интег-
рирования, нужно решить два уравнения, которые получатся, если
в (30) подставить исходные пределы интегрирования
0=x
и
2=x
со-
ответственно. Таким образом, решая уравнения
0sin2 =t
и
2sin2 =t
,
получим значения нижнего
0=t
и верхнего
2
π
=t
пределов интегри-
рования. Окончательно
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства

Страницы