Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

24 25
Определённый интеграл
Пример 8.3. Вычислить
∫
1
0
arctg dxx
.
Положим
dxdvxu == ,arctg
. Найдем
xv
x
dx
du =
+
= ,
1
2
. Получим
∫∫
+
−=
1
0
2
1
0
1
0
1
]arctg[arctg dx
x
x
xxdxx
.
Воспользуемся тем, что
∫
+
dx
x
x
1
2
вычислен в примере 7.9. Тогда
.2ln
2
1
4
2ln
2
1
1arctg)1ln(
2
1
]arctg[arctg
1
0
2
1
0
1
0
−
π
=−=+−=
∫
xxxdxx
Пример 8.4. Вычислить
∫
2
1
0
arcsin dxx
.
Положим
dxdvxu == ,sinarc
. Найдём
xv
x
dx
du =
−
= ,
1
2
.
Получим
.1
2
3
12
1
62
1
1
]arcsin[arcsin
2
1
0
2
2
1
0
2
2
1
0
2
1
0
−+
π
=−+
π
=
−
−=
∫∫
x
x
xdx
xxdxx
Мы воспользовались первообразной для функции
2
x
−
, полу-
ченной с помощью замены
2
1 xz
−=
следующим образом:
.1
2
1
1
)1(
2
1
1
2
2
2
2
CxCz
z
dz
x
xd
x
xdx
+−−=+−=−=
−
−
−=
−
∫∫∫
Пример 8.5. Вычислить
∫
+
1
0
2
3 dxx
.
При вычислении этого интеграла используем приём интегриро-
вания по частям, для того чтобы свести его к самому себе. Положим
dxdvxu =+= ,3
2
. Найдём
xv
x
xdx
du =
+
= ,
3
2
. Получим
=
+
−+
−=
+
−+=+
∫∫∫
1
0
2
2
1
0
2
2
1
0
2
1
0
2
3
33
2
3
33 dx
x
x
x
dxx
xxdxx
=++++−=
+
+
+
+
−=
∫∫∫
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
2
3ln332
3
3
3
3
2 xxdxx
x
dx
dx
x
x
.33ln323ln33ln332
1
0
2
1
0
2
∫∫
+−+=−++−= dxxdxx
Получили уравнение относительно искомого интеграла:
∫∫
+−+=+
1
0
2
1
0
2
33ln323 dxxdxx
.
Решим его и получим
3ln
2
3
13
1
0
2
+=+
∫
dxx
.
Сравните полученный результат с результатом (26) примера 7.11.
1.9. Замена переменной в определённом интеграле
Òåî ðåì à 8.
Справедлива формула
.)()())((
)(
)(
∫∫
=
′
bz
az
b
a
dttfdxxzxzf
(29)
Доказательство. Пусть
)(xF
– какая-либо первообразная для функ-
ции
)(xf
. Используем для левой части формулы (29) теорему о замене
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства

Страницы