Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

20 21
Определённый интеграл
xdxdvxu 2sin, ==
. Получим
xvdxdu 2cos
2
1
, −==
. Тогдада
.2sin
4
1
2cos
2
1
2cos
2
1
2cos
2
1
CxxxxdxxxI ++−=+−=
∫
Окончательно
.
4
1
]2sin
4
1
2cos
2
1
[2sin
4
0
4
0
=+−=
π
π
∫
xxxdxxx
Пример 7.11. Вычислить
∫
+
b
dxmx
0
2
. Сначала найдём
∫
+ dxmx
2
. При вычислении этого интеграла используем приём ин-
тегрирования по частям для того, чтобы свести его к себе. Положим
dxdvmxu =+= ,
2
. Найдём xv
mx
xdx
du =
+
= ,
2
. Получим
=
+
−+
−+=
+
−+=+
∫∫∫
dx
mx
mmx
mxx
mx
dxx
mxxdxmx
2
2
2
2
2
22
.ln
222
22
2
2
mxxmdxmxmxx
mx
mdx
dx
mx
mx
mxx
++++−+=
=
+
+
+
+
−+=
∫
∫∫
Получили уравнение относительно искомого интеграла
mxxmdxmxmxxdxmx ++++−+=+
∫∫
2222
ln
.
Решим его и получим
mxxmmxxdxmx ++++=+
∫
222
ln2
,
Cmxx
m
mx
x
dxmx +++++=+
∫
222
ln
22
. (25)
Окончательно
=++++=+
∫
b
b
mxx
m
mx
x
dxmx
0
22
0
2
)ln
22
(
m
m
mbb
m
mb
b
ln
2
ln
22
22
−++++=
. (26)
Замечание 1. Двойная подстановка обладает двумя очевидными
свойствами:
1)
b
a
b
a
xFxF )]([)]([ λ=λ
;
2)
.)]([)]([)]()([
b
a
b
a
b
a
xGxFxGxF +=+
Действительно,
.)]([)]([))()(())()((
))()(())()(()]()([
b
a
b
a
b
a
xGxFaGbGaFbF
aGaFbGbFxGxF
+=−+−=
=+−+=+
Замечание 2. Формула Ньютона – Лейбница (24) справедлива
только для непрерывных функций. Ее можно использовать и для
кусочно-непрерывных функций. Пусть теперь функция
имеет на
заданном промежутке
],[ ba
конечное число конечных разрывов,
например, в точках
1
c
и
2
c
. Тогда определённый интеграл по проме-
жутку
],[ ba
в силу формулы (10) вычисляется так:
.)()()()(
2
2
1
1
∫∫∫∫
++=
b
c
c
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxf
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства

Страницы