Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

18 19
Определённый интеграл
Формула (24) носит название формула Ньютона – Лейбница.
С помощью формулы (24) можно вычислить определённый интеграл
от любой непрерывной функции.
Введём обозначение
b
a
xFaFbF )()()( =−
.
Символ
b
a
xF )(
называется двойной подстановкой в функцию
)(xF
в пределах от a до b. С его помощью формулу (24) можно запи-
сать в виде
b
a
b
a
xFdxxf )()( =
∫
или в виде
[ ]
b
a
b
a
dxxfdxxf
∫∫
= )()(
.
Если функция
)(xF
имеет сложный вид, то используют запись
[ ]
b
a
xF )(
.
Приведём примеры применения формулы Ньютона – Лейбница.
Пример 7.1.
.
3
14
3
2
3
16
3
2
4
1
2
3
4
1
=−==
∫
xdxx
Пример 7.2.
2
1
2
1
02cos
2
1
2sin
4
0
4
0
=
−−=−=
ππ
∫
xdxx
.
Пример 7.3.
( )
3
1
1
3
1
4
3
ctg
3
1
3ctg
3
1
3sin
4
6
4
6
2
=−−=
π
−=−=
π
π
π
π
∫
x
x
dx
.
Пример 7.4.
4
arctg
1
1
0
1
0
2
π
==
+
∫
x
x
dx
.
Пример 7.5.
( ) ( )
21ln2ln82ln4ln
4
2
0
2
2
0
2
+=−+=++=
+
∫
xx
x
dx
.
Пример 7.6.
4
7
ln
6
1
7
1
ln
6
1
8
2
ln
6
1
3
3
ln
6
1
9
5
4
5
4
2
=−=
+
−
=
−
∫
x
x
x
dx
.
Пример 7.7.
.
3622
1
arcsin1arcsin
2
arcsin
4
2
2
2
π
=
π
−
π
=−==
−
∫
x
x
dx
Пример 7.8.
3ln
2
1
3ln
2
3
ln
2
1
lncoslntg
3
6
3
6
==+−=−=
π
π
π
π
∫
xdxx
.
Пример 7.9. Вычислить
∫
+
3
1
2
1x
xdx
. Сначала найдём
∫
+
1
2
x
dxx
.
Используем замену переменной
1
2
+=
xz
.
.1ln
2
1
ln
2
1
2
1
1
)1(
2
1
1
2
2
2
2
CxCz
z
dz
x
xd
x
dxx
++=+==
+
+
=
+
∫∫∫
Тогда
.5ln
2
1
2ln
2
1
10ln
2
1
)1ln(
2
1
1
3
1
2
3
1
2
=−=+=
+
∫
x
x
xdx
Пример 7.10. Вычислить
∫
π
4
0
2sin dxxx
. Сначала найдём
∫
= dxxxI 2sin
. Используем интегрирование по частям. Положим
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства

Страницы