Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

14 15
Определённый интеграл
Следствие. Если функция
)(xf
непрерывна на промежутке
],[ ba
,
то можно указать такое значение
],[ bac ∈
, что
).()()( abcfdxxf
b
a
−=
∫
(19)
Доказательство. Будем считать
1)( ≡ϕ x
при
],[ bax ∈
. Тогда со-
гласно теореме 6 найдётся такая точка
],[ bac ∈
, чтоо
).()()()( abcfdxcfdxxf
b
a
b
a
−==
∫∫
В случае, когда
0)( ≥xf
при всех
],[ bax ∈
, формула (19) имеет
простой геометрический смысл. Рассмотрим криволинейную трапецию,
ограниченную линиями
)(,0,, xfyybxax ====
. Согласно равен-
ству (19) площадь этой криволинейной трапеции равна площади пря-
моугольника с основанием
и высотой
)(cf
(рис. 4).
Рис. 4
0
y
)(xfy =
a
c
b
x
1.6. Теорема Барроу
Рассмотрим определённый интеграл с переменным верхним пре-
делом
.)()(
∫
=
x
a
dttfxF
(20)
Здесь a – число; x – пере-
менная. Таким образом,
)(xF
является функцией верхнего
предела x.
В силу геометрического
смысла определённого интегра-
ла, если
tf ≥ ,0 )(
x ≥ a, тоо
величина
∫
x
a
dttf )(
является
площадью криволинейной тра-
пеции, ограниченной справа
прямой
xt =
. Так как x – переменная, то и интеграл (20) изображает
трапецию с переменной площадью (рис. 5).
Справедливо следующее важное утверждение.
Теорема Барроу. Если функция
)(xf
непрерывна, то
),()()(
/
xfdttfxF
x
x
a
=
=
′
∫
т. е. производная определённого интеграла по переменному верхнему
пределу равна значению подынтегральной функции в точке дифферен-
цирования.
Доказательство. По определению производной
x
xFxxF
x
xF
xF
xx
∆
−∆+
=
∆
∆
=
′
→∆→∆
)()(
lim
)(
lim)(
00
,
где
∫∫
−=−∆+=∆
∆+
x
a
xx
a
dttfdttfxFxxFxF )()()()()(
. (21)
Во втором слагаемом правой части (21) поменяем пределы интег-
рирования по формуле (6) и на основании теоремы 3 получим:
.)()()()()()(
∫∫∫∫∫
∆+∆+∆+
=+=−=∆
xx
x
xx
a
a
x
x
a
xx
a
dttfdttfdttfdttfdttfxF
Рис. 5
xxcxa ∆+
O
y
)(tfy =
t
)(xF∆
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства

Страницы