Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

10 11
Определённый интеграл
тельна на отрезке
],[ ba
. Тогда форму-
ла (10) означает, что площадь криво-
линейной трапеции на отрезке
],[ ba
равна сумме площадей криволиней-
ных трапеций на отрезках
],[ ca и ],[ bc
соответственно (рис. 3).
2. Пусть теперь заданные числа
произвольны. Рассмотрим, например,
случай
abc <<
. Тогда в силу доказан-
ного в п. 1 равенства справедливо
∫∫∫
+=
a
b
b
c
a
c
dxxfdxxfdxxf )()()(
.
Воспользуемся формулой (6) и поменяем пределы интегриро-
вания
∫∫∫
−=−
b
a
b
c
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
.
Получим
∫∫∫
+=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
. (10)
В остальных случаях:
bacacbcabcba <<<<<<<< ;;;
– фор-
мула (10) выводится аналогично.
Теорема доказана.
1.4. Свойства определённого интеграла, выражаемые
неравенствами
Теорема 4. Пусть
ba <
, функции
)(xf
и
)(xg
интегрируемы на
промежутке
],[ ba
и при всех
справедливо неравенствоо
)()( xgxf ≥
. (11)
Тогда
.)()(
∫∫
≥
b
a
b
a
dxxgdxxf
(12)
Доказательство. Рассмотрим разность интересующих нас интег-
ралов как интеграл разности данных функций. В силу (9)
.))()(()()(
∫∫∫
−=−
b
a
b
a
b
a
dxxgxfdxxgdxxf
Последний интеграл запишем по формуле (4), т. е. следуя
определению определенного интеграла
( )
.)()(lim))()((
1
0
∑
∫
=
→λ
∆−=−
n
k
kkk
b
a
xxgxfdxxgxf
Здесь все парные произведения интегральной суммы неотрица-
тельны. Действительно, по условию (11)
0)()( ≥−
kk
xgxf
при всехх
nk ,,1
=
, а
0
>∆
k
x
при всех х
nk ,,1
=
, поскольку a < b.
Значит, и сама интегральная сумма неотрицательна. Тогда по тео-
реме о предельном переходе в неравенстве неотрицателен и её предел.
Таким образом, получаем:
( )
.0)()(lim))()(()()(
1
0
≥∆−=−=−
∑
∫∫∫
=
→λ
n
k
kkk
b
a
b
a
b
a
xxgxfdxxgxfdxxgdxxf
Теорема доказана.
Следствие. Пусть
ba <
, функция
)(xf
интегрируема на проме-
жутке
],[ ba
и при всех
справедливо неравенствоо
.
Тогда
0)( ≥
∫
b
a
dxxf
.
Теорема 5. Если функция
)(xf
интегрируема на промежуткее
],[ ba
, то функция )(xf также интегрируема на промежутке е
],[ ba
и при
ba <
справедливо неравенствоо
.)()(
∫∫
≤
b
a
b
a
dxxfdxxf
(13)
Рис. 3
xbca 0
y
)(xfy =
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства

Страницы