Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

67
Определённый интеграл
Функция
)(xf
называется подынтегральной функцией,
],[ ba
–
промежутком интегрирования, a – нижним пределом, b – верхним
пределом интегрирования.
Итак,
.)(lim)(
1
0
∑
∫
=
→λ
∆=
n
k
kk
b
a
xxfdxxf
(4)
Замечания:
1. Из самого определения определённого интеграла следует, что
он может для данной функции не существовать, так как может не су-
ществовать предел (3). Функции, для которых определённый интеграл
существует, называются интегрируемыми по Риману. Любая непре-
рывная на
],[ ba
функция, а также любая кусочно-непрерывная
1
на
],[ ba
функция интегрируема по Риману. (Этот факт мы приводим без
доказательства.) Но класс интегрируемых функций значительно шире.
2. Если функция
)(xf
интегрируема по Риману на промежуткее
],[ ba
, то функция
)(xϕ
, отличающаяся от т
)(xf
в конечном числе то-
чек, также интегрируема по Риману на
],[ ba
и
∫∫
ϕ=
b
a
b
a
dxxdxxf )()(
.
3. Обозначение переменной интегрирования в определенном
интеграле роли не играет:
.)()()(
∫∫∫
==
b
a
b
a
b
a
dzzfdttfdxxf
4. Если
0→λ
, то число точек дробления n стремится к беско-
нечности, но не наоборот. Действительно, мы можем зафиксировать
две точки дробления, не помещая между ними никаких других точек.
Тогда λ останется постоянным, на какие бы мелкие части мы ни дроби-
ли отрезки вне этих точек.
Геометрический смысл определённого интеграла следует из за-
дачи о площади криволинейной трапеции. Если функция
)(xf
непре-
рывна и неотрицательна на промежутке
, то
∫
b
a
dxxf )(
ра-
вен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями
0,, === ybxax
,
)(xfy =
.
Расширим определение определённого интеграла на случаи
ba =
и
ba >
. Положим:
0)( =
∫
a
a
dxxf
, (5)
.)()(
∫∫
−=
a
b
b
a
dxxfdxxf
(6)
Обе формулы не противоречат приведённому выше определению
определённого интеграла.
1.3. Свойства определённого интеграла, выражаемые
равенствами
Теорема 1. Если функция
)(xf
интегрируема на
],[ ba
, то для
любого числа
α
верно равенствоо
.)()(
∫∫
α=α
b
a
b
a
dxxfdxxf
(7)
Доказательство проведём на основании определения определён-
ного интеграла от функции
)(xfα
. Проделаем следующие операции:
1. Разделим промежуток
],[ ba
на части произвольно выбранны-
ми точками
11
,,
−
n
xx
:
bxxxxa
nn
=<<<<=
−
110
,
составим величины
),,2,1(
1
nkxxx
kkk
=−=∆
−
и определим ранг
дробления
{ }
n
xx
∆∆=λ
,,наиб.
1
.
1
Функция
)(xf
называется кусочно-непрерывной на промежутк
],[ ba
, если она имеет
на этом промежутке конечное число разрывов I рода.
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства

Страницы