Составители:
Рубрика:
45
Определённый интеграл
),,1()(,0, nkxfyyxx
k
====
). Обозначим площадь криволиней-
ной трапеции через S, а площадь каждой k-й полоски через
k
S∆
.
Получим
∑
=
∆=
n
k
k
SS
1
.
Площадь каждой полоски
приближённо равна площади пря-
моугольника с основанием
1−
−=∆
kkk
xxx
),,1( nk
=
и вы-
сотой
)(
k
xf
, где
k
x
– произволь-
но выбранная точка из промежут-
ка
],[
1 kk
xx
−
),,1( nk
=
(рис. 2).
Это приближённое равенство
тем ближе к точному равенству,
чем ýже ширина полоски
1
−
−=∆
kkk
xxx
.
Таким образом,
∑
=
∆≅
n
k
kk
xxfS
1
.)(
(1)
Введём понятие ранга дробления. Среди всех значений
k
x
∆
вы-
берем наибольшее, обозначим его через
λ
и назовём рангом дробле-
ния, так что
{ }
n
xx
∆∆=λ
,,наиб.
1
.
Можно показать, что в силу непрерывности функции
)(xf
при
0→λ
приближённое равенство (1) переходит в точное равенствоо
.)(lim
1
0
∑
=
→λ
∆=
n
k
kk
xxfS
(2)
Более того, величина S в этом случае не зависит от выбора точек
11
,,
−
n
xx
,
1
x
,
n
x,
.
К необходимости изучать пределы вида (2) приводят многие за-
дачи геометрии, механики, физики. Пределы вида (2) обобщены с по-
мощью понятия определённого интеграла.
1.2. Определение определённого интеграла
Рассмотрим функцию
)(xfy =
, заданную на промежуткее
)(],[ baba <
. Проделаем следующие операции:
1. Разделим промежуток
],[ ba
на части произвольно выбранны-
ми точками
11
,,
−n
xx
:
bxxxxa
nn
=<<<<=
−
110
,
составим величины
),,2,1(
1
nkxxx
kkk
=−=∆
−
и определим ранг
дробления
{ }
n
xx
∆∆=λ
,,наиб.
1
.
2. На каждом промежутке
],[
1 kk
xx
−
выберем произвольным об-
разом точку
k
x
и вычислим
)(xf
k
),,2,1( nk
=
.
3. Вычислим парные произведения
),,2,1()( nkxxf
kk
=∆
.
4. Сложим все парные произведения и получим сумму вида
∑
=
∆
n
k
kk
xxf
1
)(
,
называемую интегральной суммой.
5. Перейдем к пределу при
0→λ
и вычислим (если это возможно)
.)(lim
1
0
∑
=
→λ
∆
n
k
kk
xxf
(3)
Если предел (3) существует и не зависит ни от способа разбиения
промежутка
],[ ba
на части, ни от выбора точек
k
x
, то он называетсяся
определённым интегралом от функции
)(xf
по промежутку
],[ ba
и обозначается так:
.)(
∫
b
a
dxxf
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства
xxxx
kkk 1−
0
y
)(xfy =
)(
k
xf
Рис. 2
