Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

89
Определённый интеграл
2. На каждом промежутке
],[
1 kk
xx
−
выберем произвольным об-
разом точку
k
x
и вычислим
)(xf
k
α ),,2,1( nk =
.
3. Вычислим произведения
))(( xxf
kk
∆α
),,2,1( nk
=
.
4. Сложим все произведения и получим интегральную сумму вида
( )
∑
=
∆α
n
k
kk
xxf
1
)(
.
5. Устремим ранг дробления λ к 0 и будем искать
( )
.)(lim
1
0
∑
=
→λ
∆α
n
k
kk
xxf
(8)
Поскольку функция
интегрируема на отрезке
],[ ba
по ус-
ловию теоремы, получим следующую цепочку равенств:
.)()(lim
)(lim)(lim)(
1
0
1
0
1
0
∫
∑
∑∑
∫
α=∆α=
=∆α=∆α=α
=
→λ
=
→λ
=
→λ
b
a
n
k
kk
n
k
kk
n
k
kk
b
a
dxxfxxf
xxfxxfdxxf
Таким образом, предел (8) существует и не зависит ни от способа
разбиения промежутка
],[ ba
на части, ни от выбора точек
k
x
.
Теорема доказана.
Теорема 2. Если функции
и
)(xg
интегрируемы на проме-
жутке
],[ ba
, то их алгебраическая сумма
)()( xgxf ±
тоже интегри-
руема на промежутке
],[ ba
и справедлива формулаа
.)()())()((
∫∫∫
±=±
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf
(9)
Доказательство аналогично предыдущему доказательству:
))()((lim))()((
1
0
∑
∫
=∆±=±
=
→λ
n
k
kkk
b
a
xxgxfdxxgxf
.)()()(lim)(lim
)()(lim
1
0
1
0
11
0
1
∫∫
∑∑
∑∑
±=∆±∆=
=
∆±∆=
=
→λ
=
→λ
==
→λ
b
a
b
a
n
k
kk
n
k
kk
n
k
kk
n
k
kk
k
a
dxxgdxxfxxgxxf
xxgxxf
Заметим, что так как обе функции
и
)(xg
интегрируемы на
промежутке
],[ ba
, то разбиение отрезка
],[ ba
на части и выбор точек
k
x
можно для них обеих и их алгебраической суммы осуществить оди-
наково.
Теорема доказана.
Теорема 3. Для любых трёх чисел a, b, c справедлива формула
∫∫∫
+=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
, (10)
если все три интеграла существуют.
Доказательство. Рассмотрим два случая.
1. Пусть
bca <<
. Так как предел интегральной суммы не зависит
от способа разбиения промежутка
],[ ba
на элементарные части, то бу-
дем разбивать
],[ ba
на промежутки так, чтобы точка с была точкой
деления. Обозначим её через
c
n
x (т. е.
c
n
xc = )
. Тогда
∑
∫
=
→λ
=∆=
n
k
kk
b
a
xxfdxxf
1
0
)(lim)(
.)()()(lim)(lim
)()(lim
1
0
1
0
11
0
∫∫
∑∑
∑∑
+=∆+∆=
=
∆+∆=
+=
→λ
=
→λ
+==
→λ
b
c
c
a
n
nk
kk
n
k
kk
n
nk
kk
n
k
kk
dxxfdxxfxxfxxf
xxfxxf
c
c
c
c
В рассматриваемом случае теорема 3 допускает простую геомет-
рическую иллюстрацию. Предположим, что функция
неотрица-
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства

Страницы