Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

12 13
Определённый интеграл
Доказательство. Проведём его только для непрерывных функ-
ций. Заметим, что
)()()( xfxfxf ≤≤− (14)
для всех
],[ bax ∈
. К цепочке неравенств (14) применим теорему 4.
Получим
∫∫∫
≤≤−
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
,
что равносильно неравенству (13).
1.5. Теорема о среднем значении
Теорема 6. Пусть функции
)(xf
и
)(xϕ
непрерывны на проме-
жутке
],[ ba
и пусть функция
)(xϕ
не меняет знака на этом проме-
жутке. Тогда найдётся такая точка
],[ bac ∈
, что справедливо ра-
венство
.)()()()(
∫∫
ϕ=ϕ
b
a
b
a
dxxcfdxxxf
(15)
Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что
ba <
, а
0)( ≥ϕ x
при
],[ bax ∈
. Рассмотрим два случая.
1. Пусть
0)( ≡ϕ x
при всех
],[ bax ∈
. Тогда равенство (15) выпол-л-
нено очевидным образом.
2. Пусть
)(xϕ
не является тождественно равной нулю. Тогда
в силу непрерывности функции
)(xϕ
можем утверждать, чтоо
.0)( >ϕ
∫
b
dxx
Поскольку функция
)(xf
непрерывна на замкнутом промежуткее
],[ ba
, то она достигает на этом промежутке своего наибольшего значе-
ния M и своего наименьшего значения m, т. е. при всех
],[ bax ∈
спра-
ведливы неравенства
Mxfm ≤≤ )(
. (16)
Домножим неравенства (16) на положительные значения функ-
ции
)(xϕ
и получим справедливые при всех
],[ bax ∈
неравенстваа
).( )()()( xMxxfxm ϕ≤ϕ≤ϕ
(17)
К цепочке неравенств (17) применим теорему 4 и получим спра-
ведливые неравенства
.)( )()()(
∫∫∫
ϕ≤ϕ≤ϕ
b
a
b
a
b
a
dxxMdxxxfdxxm
(18)
Разделим все части цепочки неравенств (18) на положительное
число
∫
ϕ
b
a
dxx)(
. Получим
.
)(
)()(
M
dxx
dxxxf
m
b
a
b
a
≤
ϕ
ϕ
≤
∫
∫
Поскольку непрерывная функция
)(xf
принимает на промежут-
ке
],[ ba
все значения между своим наибольшим
M
и наименьшим m,
существует такая точка
],[ bac ∈
, чтоо
.
)(
)()(
)(
∫
∫
ϕ
ϕ
=
b
a
b
a
dxx
dxxxf
cf
Отсюда следует, что
.)()()()(
∫∫
ϕ=ϕ
b
a
b
a
dxxcfdxxxf
Таким образом, теорема 6 доказана.
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства

Страницы