Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

16 17
Определённый интеграл
Величина
∫
∆+
xx
x
dttf )(
является площадью заштрихованной криво-
линейной трапеции (см. рис. 5). Поскольку функция
)(xf
непрерыв-
на, по теореме 6 о среднем значении найдётся такая точка
],[ xxxc ∆+∈
,
для которой справедливо
.)()()()( xcfxxxcfdttf
xx
x
∆=−∆+=
∫
∆+
Тогда
).()(lim
)(
lim
)(
lim)(
00
xfcf
x
xcf
x
xF
xF
xcxx
==
∆
∆
=
∆
∆
=
′
→→∆→∆
Теорема доказана.
Приведём примеры применения теоремы Барроу.
Пример 6.1.
.
sinsin
2
2
2
x
x
dt
t
t
x
x
=
′
∫
Пример 6.2.
.
333
2
3
5
2
35
2
3
+
−=
′
+
−=
′
+
∫∫
x
x
dt
t
t
dt
t
t
x
x
x
x
Пример 6.3.
0
sin
5
2
2
=
′
∫
x
dt
t
t
, так как определённый интегралл
с постоянными пределами – это постоянная величина.
Пример 6.4.
1
sin
2
1
sin
2
2
2
2
+
=
′
+
∫
x
x
x
t
tdt
x
x
. Здесь мы имеем дело со
сложной функцией:
)()()(
2
xzzFxF
zx
′′
=
′
, где
2
)( xxz =
;
∫
+
=
z
t
tdt
zF
1
sin
)(
.
Следствие. Любая непрерывная на промежутке
],[ ba
функция
имеет на этом промежутке первообразную.
Действительно, если
)(xf
– непрерывна, то существует
)()( xFdttf
x
a
=
∫
. Но по теореме Барроу
)()( xfxF =
′
, т. е.
)(xF
– перво-о-
образная для
).(xf
Таким образом,
∫
x
a
dttf )(
– первообразная для
).(xf
Замечание. Первообразная непрерывной функции не всегда мо-
жет быть выражена в терминах элементарных функций.
1.7. Формула Ньютона – Лейбница. Вычисление определённого
интеграла
На основе теоремы Барроу выведем формулу для вычисления
определённого интеграла от непрерывных функций. Пусть
)(xf
опре-
делена и непрерывна на промежутке
],[ ba
. Тогда она имеет на этомм
промежутке первообразную
)()( xdttf
x
a
Φ=
∫
. Пусть
)(xF
– любая дру-у-
гая первообразная для
)(xf
на промежутке
],[ ba
. Известно, что двее
любые первообразные одной и той же функции отличаются разве лишь
на постоянное значение, т. е.
CxFx =−Φ )()(
. Справедливо равенствоо
CxFdttf
x
a
+=
∫
)()(
, (22)
где С – какая-то постоянная. Вычислим величину С. Положим в (22)
ax =
. Поскольку
0)( =
∫
a
a
dttf
, получим
)(aFC −=
и формула (22) при-
мет вид
)()()( aFxFdttf
x
a
−=
∫
. (23)
Положим в (23)
bx =
. Тогда
)()()( aFbFdttf
b
a
−=
∫
, (24)
где
)(xF
– любая первообразная для функции
)(xf
.
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства

Страницы