Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

22 23
Определённый интеграл
Это естественно и в силу
геометрического смысла опре-
делённого интеграла (рис. 6),
поскольку площадь всей фигу-
ры равна сумме площадей кри-
волинейных трапеций на
отдельных частичных проме-
жутках, на которых функция
непрерывна.
1.8. Интегрирование по частям в определённом интеграле
Для того чтобы применить формулу Ньютона – Лейбница, нужно
сначала найти неопределённый интеграл от подынтегральной функции.
Для этого часто применяются формулы интегрирования по частям
в неопределённом интеграле (примеры 7.10 и 7.11) и замены переменной
в неопределённом интеграле (пример 7.9). Но одноименные формулы су-
ществуют и для определённого интеграла. И гораздо удобнее использо-
вать для вычисления определённого интеграла именно эти формулы.
Теорема 7. Пусть функции
)x(u
и
)x(v
дифференцируемы на
промежутке
],[ ba
. Справедлива формулаа
[ ]
∫∫
′
−=
′
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxudxxvxu )()()()()()(
, (27)
или в более компактной
1
записи
[ ]
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
xduxvxvxuxdvxu )()()()()()(
. (28)
Доказательство. Применим формулу Ньютона – Лейбница
и формулу интегрирования по частям в неопределённом интеграле:
[ ]
)()()()(
∫∫
=
′
=
′
b
a
b
a
dxxvxudxxvxu
Рис. 6
21
y
)(xfy =
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
.)()()()(
)()()()(
)()()()(
∫
∫
∫
′
−=
=
′
−=
=
′
−=
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxu
dxxuxvxvxu
dxxuxvxvxu
Формула (27) доказана.
Замечания:
1. При решении задач обычно пользуются компактной формой
(28), а не развёрнутой формой (27).
2. Типы функций, которые следует интегрировать по частям, та-
кие же, как и в случае вычисления неопределённого интеграла.
3. Форма записи решения такая же, как и в случае неопределён-
ного интеграла.
Приведём примеры.
Пример 8.1. Вычислить
∫
e
dxx
1
ln
.
Положим
dxdvxu == ,ln
. Получим
xv
x
dx
du == ,
. Тогдада
( )
1)1(1lnlnlnln
1
111
=−−=−−=−=
∫∫
eexeedxxxdxx
e
eee
.
Пример 8.2. Вычислить
∫
π
2
0
cos dxxx
.
Положим
dxxdvxu cos, ==
. Получим
xvdxdu sin, ==
. Тогдада
.1
2
cos
2
sin]sin[cos
2
0
2
0
2
0
2
0
−
π
=+
π
=−=
π
π
π
π
∫∫
xdxxxxdxxx
1
В интегралах, участвующих в формуле (28), переменной интегрирования является x.
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства

Страницы