Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

26 27
Определённый интеграл
переменной в неопределённом интеграле и формулу Ньютона – Лейбница:
)).(())(())](([])())(([)())(( azFbzFxzFdxxzxzfdxxzxzf
b
a
b
a
b
a
−==
′
=
′
∫∫
К правой части формулы (29) достаточно применить формулу
Ньютона – Лейбница:
)).(())(()]([)(
)(
)(
)(
)(
azFbzFtFdttf
bz
az
bz
az
−==
∫
Таким образом, левая часть формулы (29) равна её правой части,
и тем самым справедливость формулы (29) доказана.
Замечание. Применяя формулу (29), мы переходим к новой пере-
менной интегрирования (делаем подстановку
txz =)(
). При этом ме-
няется вид подынтегральной функции, изменяется дифференциал
dxxzdt )(
′
=
, изменяются пределы интегрирования (они теперь отра-
æàþ ò èçì åí åí èå ï åðåì åí í î é
t). Воспользовавшись формулой (29),
уже не нужно возвращаться к первоначальной переменной интегриро-
вания x.
Приведём примеры замены переменной в определённом интеграле.
Пример 9.1. Вычислить
∫
+
3
1
2
1
dx
x
x
. Сделаем замену
1
2
+= xt
.
Найдём
xdxdxxdt 2)1(
2
=
′
+=
и вычислим новые пределы интегриро-
вания
10)3(,2)1( == tt
. Тогда
.5ln
2
1
)2ln10(ln
2
1
ln
2
1
2
1
)1(
1
1
2
1
1
10
2
10
2
3
1
2
2
3
1
2
=−==
==
′
+
+
=
+
∫∫∫
t
t
dt
dxx
x
dx
x
x
(Сравните с примером 7.9.)
Пример 9.2. Вычислить
∫
−
2
1
0
2
1 x
dxx
. Сделаем замену
2
1 xt −=
.
Найдём
xdxdxxdt 2)1(
2
−=
′
−=
и новые пределы интегрирования
3
)
1
(,1)0( == tt
. Тогда
.1
2
3
2
2
1
2
1
1
)1(
2
1
1
4
3
1
4
3
1
4
3
1
2
1
0
2
2
2
1
0
2
+−=−=−=−=
−
′
−
−=
−
∫∫∫
tt
t
dt
dx
x
x
x
dxx
(Сравните с примером 8.4.)
Пример 9.3. Вычислить
∫
++
2
0
48
3
22xx
dxx
. Сделаем замену
4
xt =
.
Найдём
dxxdxxdt
34
4)( =
′
=
и вычислим
16)2(,0)0( == tt
. Тогдада
=
++
=
++
′
=
++
∫∫∫
16
0
2
2
0
48
4
2
0
48
3
22
4
1
22
)(
4
1
22 tt
dt
xx
dxx
xx
dxx
).
4
17(arctg
4
1
)1arctg(
4
1
1)1(
4
1
16
0
16
0
2
π
−=+=
++
=
∫
t
t
dt
Пример 9.4. Вычислить
∫
+
3
2
3ln
2
e
e
xx
dx
. Сделаем замену
xt ln=
.
Найдём
x
dx
dxxdt =
′
= )(ln
и новые пределы интегрирования
3)(,2)(
32
== etet
. Тогда
.
72
123
ln3ln
33ln
)(ln
3ln
3
2
2
3
2
222
3
2
3
2
+
+
=++=
+
=
+
′
=
+
∫∫∫
tt
t
dt
x
dxx
xx
dx
e
e
e
e
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства

Страницы