Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

30 31
Определённый интеграл
.)2sin
2
1
(2)2cos1(2cos44
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
π=+=+==−
π
ππ
∫∫∫
ttdttdttdxx
1.10. Несобственные интегралы
Расширим понятие определённого интеграла.
1.10.1. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку
Пусть функция
)(xf
определена при всех
ax ≥
и интегрируемаа
на каждом конечном промежутке
)(],[ aAAa >
. Рассмотрим предел
.)(lim
∫
+∞→
A
a
A
dxxf
(31)
Его называют интегралом функции
)(xf
в пределах от a
до
∞+
или несобственным интегралом II рода, и обозначают симво-
лом
∫
∞+
a
dxxf )(
. (32)
Таким образом,
.)(lim)(
∫∫
+∞→
∞+
=
A
a
A
a
dxxfdxxf
Если предел (31) существует и конечен, то говорят, что интеграл
(32) существует или сходится. Функцию
)(xf
при этом называют ин-
тегрируемой на промежутке
),[ ∞+a
. Если же рассматриваемый пре-
дел (31) не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный
интеграл (32) не существует, или расходится.
Пример 10.1
2
0arctgarctglimarctglim
1
lim
1
0
0
2
0
2
π
=−==
+
=
+
+∞→+∞→+∞→
∞+
∫∫
Ax
x
dx
x
dx
A
A
A
A
A
.
Пример 10.2
1)1
1
(lim
1
limlim
1
1
2
1
2
=+−=
−==
+∞→+∞→+∞→
∞+
∫∫
Ax
x
dx
x
dx
A
A
A
A
A
.
Пример 10.3
+∞=−===
+∞→+∞→+∞→
∞+
∫∫
)2ln(lnlimlnlimlim
2
Ax
x
dx
x
dx
A
A
A
A
A
.
Таким образом, несобственный интеграл
∫
∞+
2
x
dx
расходится.
Пусть теперь функция
)(xf
определена на промежутке
],( b−∞
и интегрируема на любом конечном промежутке
)(],[ bBbB <
.
Несобственным интегралом II рода, или интегралом функции
)(xf
в пределах от
∞−
до b, называется
∫
∞−→
b
B
B
dxxf )(lim
. (33)
Этот интеграл обозначается следующим образом:
∫
∞−
b
dxxf )(
. (34)
Таким образом,
.)(lim)(
∫∫
∞−→
∞−
=
b
B
B
b
dxxfdxxf
Если предел (33) существует и конечен, то говорят, что интеграл
(34) существует или сходится. Функцию
)(xf
при этом называют ин-
тегрируемой на промежутке
],( b−∞
. В противном случае говорят, чтоо
несобственный интеграл (34) не существует, или расходится.
Пусть функция
)(xf
определена на всей числовой оси и интегри-
руема на каждом промежутке
)(],[ ABAB <
.
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства

Страницы