Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

36 37
Определённый интеграл
Решение. Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв
внутри промежутка интегрирования при
2=x
. Согласно определению
.
4
lim
4
lim
4
3
2
2
0
2
0
2
0
3
0
2
2
2
1
1
∫∫∫
ε+
+→ε
ε−
+→ε
−
+
−
=
−
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
Рассмотрим каждый из двух пределов отдельно:
а)
=−=
−
ε−
+→ε
ε−
+→ε
∫
1
1
1
1
2
0
2
0
2
0
2
0
4ln
2
1
lim
4
lim xdx
x
x
;4ln
2
1
4lnlim
2
1
2
11
0
1
−∞=−ε+ε−=
+→ε
б)
=−=
−
ε+
+→ε
ε+
+→ε
∫
3
2
2
2
0
2
3
2
2
2
0
2
4ln
2
1
lim
4
lim xdx
x
x
.4lnlim
2
1
5ln
2
1
2
22
0
2
+∞=ε+ε−=
+→ε
В итоге рассматриваемый интеграл расходится. Но он сходится
в смысле главного значения. Действительно,
.
2
5
ln
4
4
lnlim
2
1
2
5
ln
4
4
lnlim
2
1
2ln5ln
2
1
)
44
(lim
4
.p.V
0
2
2
0
3
2
2
2
0
2
0
3
0
2
=
+ε
−ε
+=
ε+ε
ε−ε
+−=
=
−
+
−
=
−
+→ε+→ε
ε+
ε−
+→ε
∫∫∫
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
Пример 10.9. Вычислить несобственный интеграл
∫
e
xx
dx
1
0
3
ln
или доказать его расходимость.
Решение. С помощью правила Лопиталя вычислим
xxL
x
3
0
lnlim
+→
=
.
=
−
⋅
−=−=
−
⋅
==
+→+→+→+→
2
0
2
0
2
2
0
3
0
1
1
ln2
lim3
1
ln
lim3
1
1
ln3
lim
1
ln
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L
xxxx
.0
1
1
lim6
1
ln
lim6
2
00
=
−
==
+→+→
x
x
x
x
xx
Следовательно, подынтегральная функция является бесконечно
большой при
. Согласно определению
.
ln
lim
ln
1
3
0
1
0
3
∫∫
ε
+→ε
=
ee
xx
dx
xx
dx
Вычислим
∫
ε
e
xx
dx
1
3
ln
, сделав замену
xz ln=
. То гда
)(,
1
=ε= zdx
x
dz
1)
1
(,ln −=ε=
e
z
. Получим:
ε
+−=−==
−
ε
−
εε
∫∫
2
1
ln
2
1
ln
3
1
3
ln2
1
2
1
2
1
ln zz
dz
xx
dx
e
.
В результате
.
2
1
2
1
ln2
1
lim
ln
2
0
1
0
3
−=−
ε
=
+→ε
∫
e
xx
dx
Пример 10.10. Вычислить несобственный интеграл
∫
−−
2
0
2)3( xx
dx
или доказать его расходимость.
Решение. Подынтегральная функция является бесконечно боль-
шой при
02 −→x
. Согласно определению
.
2)3(
lim
2)3(
2
0
0
2
0
∫∫
ε−
+→ε
−−
=
−− xx
dx
xx
dx
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства

Страницы