Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

44 45
Определённый интеграл
Пример 2.1.6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лини-
ями
3
,
6
,tg,0
π
=
π
=== xxxyy
(рис. 13).
y
xy tg=
1
xO
236
πππ
Рис. 13
Решение. Воспользуемся формулой для вычисления площади кри-
волинейной трапеции.
3ln
2
1
2
3
ln
2
1
ln)
6
cosln
3
cos(lncoslntg
3
6
3
6
=+−=
π
−
π
−=−==
π
π
π
π
∫
xxdxF
.
Пример 2.1.7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лини-
ями
(рис. 14).
y
xy arctg=
1−
Рис. 14
2π−
xO 1
4π−
2π
4π
Решение. Рассматриваемая фигура симметрична относительно на-
чала координат. Поэтому её площадь
F
можно вычислить по формуле
0
2FF
=
,
где
0
F
– площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
xyyxx arctg,0,1,0 ====
, т. е.
∫
=
1
0
0
arctg xdxF
.
Для вычисления интеграла применим формулу интегрирования по
частям. Положим
dxdvxu == ,arctg
и найдём
xv
x
dx
du =
+
= ,
1
2
. Тогдада
.
1
1arctg
1
arctgarctg
1
0
2
1
0
2
1
0
1
0
0
∫∫∫
+
−=
+
−==
x
xdx
x
xdx
xxxdxF
Введём новую функцию
2
1 xz +=
. Заметим, что
,2= xdxdz
2)1(,1)0( == zz
. Получим:
2ln
2
1
4
ln
2
1
42
1
4
1
1arctg
2
1
2
1
1
0
2
0
−
π
=−
π
=−
π
=
+
−=
∫∫
z
z
dz
x
xdx
F
.
В итоге
2ln
2
)2ln
2
1
4
(2 −
π
=−
π
=F
.
Пример 2.1.8. Вычислить
площадь фигуры, ограниченной коор-
динатными осями и правой верхней
четвертью эллипса
1
49
22
=+
yx
.
Решение. Рассматриваемая
фигура (рис. 15) является криволиней-
ной трапецией, ограниченной линия-
ми
0=y
,
2
9
3
2
xy −=
,
3,0 == xx
. Её площадь вычисляется по
формуле
Глава 2. Приложения определённого интеграла
y
2
x30
Рис. 15

Страницы