Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

50 51
Определённый интеграл
Тогда
∫∫∫
−−=−
+
=−+=
1
0
1
0
1
0
2
1
0
arccos2
2
9
arccos
2
)2(
)arccos2( xdxxdx
x
dxxxF
.
Интеграл, стоящий в правой части последнего равенства, вычис-
ляем, пользуясь приёмом интегрирования по частям, выбрав
dxdvxu == ;arccos
. Тогда
.
11
arccosarccos
1
0
2
1
0
2
1
0
1
0
∫∫∫
−
=
−
+=
x
xdx
x
xdx
xxxdx
Осуществим теперь замену переменной. Пусть
2
1 xz −=
. Тогда
0)1(,1)0(,2 ==−= zzxdxdz
и
.1
2
1
2
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
2
===−=
−
∫∫∫
z
z
dz
z
dz
x
xdx
Итак,
.
2
3
12
2
9
=−−=F
Пример 2.1.12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями
.2,1, =−==
−
xeyxey
xx
Решение. Построим заданную фи-
гуру (рис. 20).
График функции
x
xey
−
=
имеет
в точке
1=x
максимум, равный
e
1
, а в точ-ч-
ке
– перегиб, причём
2
2
)2(
e
y =
.
Бесконечно малый элемент
dF
ис-
комой площади равен площади заштри-
хованной вертикальной полосы. На рис. 20
это прямоугольник шириной
dx
и высо-
той
)1(
xx
exe −−
−
. Тогда
dxexedF
xx
))1(( −−=
−
.
02
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2)1( eedxxeexdxxedxexeF
xxxxx
−+−=+−=+−=
∫∫∫
−−−
.
Для вычисления последнего интеграла используем формулу
интегрирования по частям, выбрав
dxedvxu
x−
== ,
.
=−−=+−=
−−−−−
∫∫
2
0
2
2
0
2
0
2
0
2)(
xxxx
eedxexedxxe
132
2022
+−=+−−=
−−−
eeee
.
Окончательно получаем
231213
2222
−+−=−+−+−=
−−
eeeeF
.
Пример 2.1.13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями
2,1,,
22
=−===
−
xxyeyey
xx
.
Решение. В данном случае верхняя граница фигуры и её левая
и правая границы составлены из различных кривых (рис. 21).
Поэтому, чтобы применить
стандартные рассуждения, фигуру
следует расчленить на части. Рас-
сматриваемая фигура является
объединением фигур I и II, как по-
казано на рис. 21. Площадь рас-
сматриваемой фигуры представим
как сумму двух площадей:
21
FFF +=
.
Здесь
1
F
– площадь фигуры I,
ограниченной линиями
,= ey
x
1,1
2
=−= xxy
;
2
F
– площадь фи-
гуры II, ограниченной линиями
2,1,1,
22
==−==
−
xxxyey
x
.
Рис. 20
0
y
2
1 e−
x
ey −=1
x
xey
−
=
x2
dx
Рис. 21
0
y
3−
2
1 xy −=
x
ey =
II
1
e
x
ey
−
=
2
x21
I
dx
Глава 2. Приложения определённого интеграла

Страницы