Составители:
Рубрика:
58 59
Определённый интеграл
2.2.2. Вычисление объёма тела через площадь его сечения
Пусть тело в пространстве расположено между плоскостями
ax =
и
bx =
(рис. 27). Будем искать объём V этого тела.
Рис. 27
xbdxxxa +
)(xF
Рассечём тело на слои в различных точках
x
)( bxa ≤≤
плоско-о-
стями, перпендикулярными оси
Ox
. Пусть в каждой точке x известна
площадь этого сечения
)(xF
. Она является функцией переменной x.
Выделим элемент объёма
V∆
– объём тела, расположенного между
параллельными плоскостями, проходящими через через точки x и
dxx +
на оси
Ox
.
За бесконечно малый элемент искомого объёма
dV
примем объём
бесконечно узкого цилиндра высотой
dx
и площадью основания
)(xF
.
Тогда
dxxFdV )(=
,
и объём тела вычисляется по формуле
.)(
∫
=
b
a
dxxFV
2.2.3. Вычисление объёма тела вращения
А. На рис. 28 показано тело,
полученное вращением вокруг оси
Ox
криволинейной трапеции, огра-
ниченной линиями
,ax =
,bx =
0=y
,
)(xfy =
.
Будем искать его объём. Обозна-
чим его через
x
V
. Рассечём тело плос-
костью, перпендикулярной оси
Ox
,
в произвольной точке
],[ bax ∈
. Рас-
смотрим элемент объёма
x
V
∆
, полу-
ченный вращением криволинейной
трапеции, опирающейся на отрезок
],[ dxxx +
длиной
dx
. За бесконечно
малый элемент объёма
x
dV
примем объём цилиндра с высотой
dx
и пло-
щадью основания, равной площади круга радиусом
)(xf
:
dxxfdV
x
)(
2
π=
.
Тогда
∫
π=
b
a
x
dxxfV )(
2
. (47)
Пример 2.3.1. Вычислить
объём тела, полученного вращени-
ем вокруг оси
Ox
плоской фигу-
ры, ограниченной осью
Ox
и полуволной синусоиды
( xy sin= , 0=x , π=x )
(рис. 29).
Решение.
.
2
)2sin
2
1
(
2
)2cos1(
2
sin
2
0
0
0
2
π
=−
π
=−
π
=π=
∫∫
π
π
π
xxdxxxdxV
x
O
y
Рис. 28
)(xfy =
x
bdxxxa +
Глава 2. Приложения определённого интеграла
y
xy sin=
Рис. 29
1
dx
xO π
π
2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
