Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

60 61
Определённый интеграл
Пример 2.3.2. Вычислить объём тела, полученного вращением
вокруг оси
Ox
плоской фигуры, ограниченной кривой
2
2
=+ xy
и пря-
мой
04 =+x
.
Решение. Построим
заданную в условии плос-
кую фигуру. Она ограниче-
на параболой
xy −= 2
2
и прямой
4−=x
. Будем вра-
щать её вокруг оси
Ox
(рис. 30). Полученное тело
вращения рассечём плоско-
стью, перпендикулярной
оси
Ox
. В сечении получим
круг площадью
2
yπ
, где
xy −= 2
2
. Для вычисления
искомого объёма воспользу-
емся формулой (47). Тогда
π=−−π−−π=−π=−π=
−
−
∫
18)88()24()
2
2()2(
2
4
2
2
4
x
xdxxV
x
.
Пример 2.3.3. Вычислить объём тела, полученного вращением
вокруг оси
Ox
плоской фигуры, ограниченной линиями
8;0;8;
2
==== xyxyxy
.
Решение. Построим заданную в условии плоскую фигуру
(рис. 31).
Эта криволинейная трапеция состоит из двух частей. Первая часть
ограничена сверху параболой
2
xy =
, заключённой между прямыми
0=x
и
2=x
, вторая часть – гиперболой
x
y
8
=
, отсечённой слеваа
и справа прямыми
2=x
и
8=x
.
Будем вращать фигуру вокруг оси
Ox
. Полученное тело враще-
ния (рис. 32) будет иметь объём, состоящий из двух слагаемых:
21
VVV
x
+=
.
0
4
y
2
xy =
x
y
8
=
x82
0
4
y
2
xy =
x
y
8
=
x82
Рис. 32
2
V
1
V
Воспользуемся формулой (47). При вычислении
1
V
возьмём
2
)( xxf =
, где
]2;0[∈x
. Тогдада
5
32
5
2
0
5
2
0
4
1
π=π=π=
∫
x
dxxV
.
При вычислении
2
V
возьмём
x
xf
8
)( =
, где
]8;2[∈x
. Тогдада
π=−π−=
π
−=π=
π=
∫∫
24)
2
64
8
64
(
64
64
8
8
2
8
2
2
8
2
2
2
x
x
dx
dx
x
V
.
В итоге получим
π=π=π+
π
=+= 4,30
5
152
24
5
32
21
VVV
x
.
Б. Пусть тело получено вращением вокруг оси
Oy
фигуры, огра-
ниченной линиями
)(,0,, yxxdycy ϕ====
(рис. 33). Обозначим егоо
объём через
y
V и будем искать этот объём. Рассечём тело плоскостью,
перпендикулярной оси
Oy
. Бесконечно малый элемент
y
dV
вычисля-
ется как объём цилиндра, полученного вращением вокруг оси
Oy
пря-
моугольника с основанием
],[ dyyy +
и высотой
)( yϕ
. Это цилиндр
высотой
dy
, основанием которого является круг радиусом
)( yϕ
. Тогдада
.)(
2
dyydV
y
πϕ=
y
Рис. 30
xy −= 2
2
xdxxx 24 +−
y
Глава 2. Приложения определённого интеграла

Страницы