Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

62 63
Определённый интеграл
O
Рис. 33
)( yx ϕ=
x
c
y
dyy
d
+
y
Проинтегрируем это равенство по промежутку
],[ dc
и получим
∫
ϕπ=
d
c
y
dyyV )(
2
. (48)
Пример 2.3.4. Вычислить объём тела, полученного вращением
вокруг оси
Oy
плоской фигуры, ограниченной линиями
0;3;tg
2
=== xyxy
.
Решение. Построим за-
данную плоскую фигуру.
Будем вращать её вокруг
оси
Oy
(рис. 34). Полученноее
тело вращения рассечём плос-
костью, перпендикулярной
оси
Oy
. В сечении получим
круг площадью
2
xπ
, где
yx arctg
2
=
. Для вычисления
искомого объёма воспользуем-
ся формулой (48). Тогда
=
+
−π=π=
∫∫
)
1
arctg(arctg
3
0
2
3
0
3
0
y
ydy
yyydyV
y
2ln
3
)4ln
2
1
3
())1ln(
2
1
3
3(
2
3
0
2
π−
π
=−
π
π=+−
π
π= y
.
Пример 2.3.5. Вычислить объём тела, полученного вращени-
ем вокруг оси
Oy
плоской фигуры, ограниченной линиями
3,
23
3
2
=
= y
xy
.
Решение. Построим за-
данную плоскую фигуру. Бу-
дем вращать её вокруг оси
Oy
(рис. 35).
Полученное тело вра-
щения рассечём плоскостью,
перпендикулярной оси
Oy
.
В сечении получим круг. Для
определения радиуса круга
обратимся к заданной кривой
3
2
23
=
xy
.
Возведём в куб левую и правую части уравнения и получим
23
23
=
xy
.
Отсюда выразим
32
27
4
yx =
и площадь круга
32
27
4
yx π=π
.
Для вычисления искомого объёма воспользуемся формулой (48).
Тогда
π=π=π=
∫
3
2727
4
3
0
4
3
0
3
y
dyyV
y
.
O
y
y
3
2
xyx
3
)(
π
Рис. 34
O
y
y
3
3
2
23
=
xy
xyx 2)(
Рис. 35
Глава 2. Приложения определённого интеграла

Страницы