Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

66 67
Определённый интеграл
xy cos2=
и площадью
xxx
222
cos3)cos)cos2(( π=−π
. В силу сим-
метрии можно вычислять половину искомого объёма и удваивать ре-
зультат. Для вычисления половины объёма воспользуемся формулой
(50) для
]
2
;0[
π
∈x
. Тогда
y
xy cos=
Рис. 38
2
1
xO
22
ππ
−
4
3
)2sin
2
1
(
2
3
)2cos1(
2
3
cos3
2
1
2
2
0
2
0
2
0
2
π
=+π=+π=π=
π
ππ
∫∫
xxdxxxdxV
x
.
Окончательно получаем
2
3
2
π
=
x
V
.
Пример 2.3.7. Вычислить объём тела, полученного вращением
вокруг оси
Oy
плоской фигуры, ограниченной линиями
0,128
2
=−+−= yxxy
.
Решение. Заданная кривая является параболой. Чтобы её постро-
ить, уравнение
128
2
−+−= xxy
(53)
приведём к каноническому виду:
01216168
2
=+−+−+ xxy
,
)4()4(
2
−−=− yx
. (54)
Получена парабола с осью симметрии
4=x
, вершиной в точкее
)4;4(
и направлением от директрисы к фокусу, противоположным на-
правлению оси
Oy
. Кривая пересекает ось
Ox
в точках
2=x
и
6=x
.
Заданная фигура заштрихована на рис. 39, а. Вращая её вокруг оси
Oy
,
получим тело с полостью.
yx −+= 44
yx −−= 44
xO 642
4
y
Рис. 39, а
yx −+= 44
yx −−= 44
xO 642
4
y
Рис. 39, б
Рассечём его плоскостью, перпендикулярной оси
Oy
. В сечении
получим кольцо (рис. 39, б). Чтобы определить внутренний и внешний
радиусы этого кольца, обратимся снова к заданной кривой. Из уравне-
ния (54) найдём
Глава 2. Приложения определённого интеграла

Страницы