Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

70 71
Определённый интеграл
22
)()( dydxdS +=
(56)
или
dxxfdS
2
))((1
′
+=
. (57)
Тогда
∫
′
+=
b
a
dxxfS
2
))((1
.
Замечание. Если дуга кривой описана уравнением
)( yx ϕ=
,
],[ dcy ∈
, то из формулы (56) получим
dyydS
2
))((1 ϕ
′
+=
(58)
и
∫
ϕ
′
+=
d
c
dyyS
2
))((1
.
Если же дуга описывается параметрически:
),,(
),(
);(
βα∈
ψ=
ω=
t
ty
tx
то
dtttdS
22
))(())(( ψ
′
+ω
′
=
(59)
и
∫
β
α
ψ
′
+ω
′
= dtttS
22
))(())((
.
Пример 2.4.1. Определить длину дуги кривой
32
)1(
3
2
−= xy
, от-
сечённой прямой
3=x
.
Решение. Заданная дуга
CAB
изображена на рис. 42. Обозначим
её длину через
S
. Дуга
CAB
составлена из двух дуг одинаковой дли-
ны: дуги
и дуги
AC
. Найдём беско-о-
нечно малый элемент длины дуги
AB
. Этаа
дуга описывается уравнением
2
3
)1(
3
2
−= xy
,
где
]3;1[∈x
. Воспользуемся формулой
(57). Вычислим предварительно
2
1
)1(
2
3
3
2
−=
′
xy
.
Тогда
)1(
2
3
)(
2
−=
′
xy
и
dxxdxxdS
2
1
2
3
)1(
2
3
1 −=−+=
.
Таким образом,
9
56
)18(
9
8
2
1
2
3
3
2
3
2
2
2
1
2
3
2
3
1
3
3
1
=−=
−⋅=−=
∫
xdxxS
.
Пример 2.4.2. Вычислить длину дуги параболы
xy 4
2
=
от вер-
шины до точки
)4;4(A
(рис. 43).
Решение. Заданная дуга
OA
описывается уравнением
4
2
y
x =
,
где
]4;0[∈y
. Бесконечно малый элемент
длины этой дуги будем искать по формуле
(58). Найдём сначала
2
y
x =
′
.
xO 321
A
B
C
3
4
y
2
3
)1(
3
2
−= xy
3
4
−
Рис. 42
xO 4
A
4
y
xy 4
2
=
Рис. 43
Глава 2. Приложения определённого интеграла

Страницы