Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

68 69
Определённый интеграл
yx −±=− 44
,
т. е.
−−=
−+=
.44
;44
yx
yx
Очевидно, что первая функция задает внешний радиус кольца,
а вторая – внутренний. Найдём бесконечно малый элемент искомого
объёма по формуле (51):
dyydyyydV
y
−π=−−−−+π= 416))44()44((
22
.
Для вычисления объёма проинтегрируем полученный результат
по переменной
]4;0[∈y
. Тогда
3
256
3
)4(
32416
4
0
2
3
4
0
π
=
−
π−=−π=
∫
y
dyyV
y
.
Пример 2.3.8. Вычислить объём тела, полученного вращением
вокруг оси
Oy
плоской фигуры, ограниченной линиями
2,1,0,1
2
−===−= yxxxxy
.
Решение. Заданная фигура зашт-
рихована на рис. 40. Справа она огра-
ничена прямой
1=x
, а слева – тремя
разными кривыми. Таким образом, тело
вращения состоит из трёх частей.
Для
]1;0[∈y
фигура ограничена
слева параболой
2
1 xy −=
.
Приведём её к каноническому
виду, выразив
yx −= 1
2
.
При вращении этой части фигуры
вокруг оси
Oy
получится тело с полостью, и в сечении плоскостью, пер-
пендикулярной оси
Oy
, мы получим кольцо площадью
yy π=−−π ))1(1(
.
Для
]2;1[∈y
объём тела равен объёму цилиндра постоянного ра-
диуса
1=x
.
При
]3;2[∈y
фигура ограничена слева линией
2−= yx
. (55)
Возведём обе части уравнения (55) в квадрат:
2
2
−= yx
.
Вращая эту часть фигуры вокруг оси
Oy
, также получим тело
с полостью, а в сечении плоскостью, перпендикулярной оси
Oy
, полу-
чим кольцо площадью
)3())2(1( yy −π=−−π
.
Для каждой из трёх частей применим формулу (52) и получим:
=−++π=−π+π+π=
∫∫∫
))
2
3(
2
()3(1
3
2
2
2
1
1
0
2
3
2
2
1
1
0
y
yy
y
dyydyydyV
y
π=+−−+−+π= 2)26
2
9
912
2
1
(
.
2.2.4. Вычисление длины дуги плоской кривой
Пусть кривая описывается
уравнением
(рис. 41).
Рассмотрим дугу этой кривой
при
],[ bax ∈
. Обозначим длину
этой дуги через
S
. Предполо-
жим, что на промежутке
],[ ba
существует непрерывная произ-
водная
)(xf
′
.
Чтобы вычислить длину
дуги, выделим на дуге элемен-
тарный участок, соответствую-
щий изменению аргумента x на
промежутке
],[ dxxx +
. Обозначим бесконечно малый элемент длины
дуги через
dS
. Вычислим
dS
, заменив бесконечно малую дугу её
хордой, величину
y∆
– величиной
dy
и применив теорему Пифагора.
y
2
1 xy −=
Рис. 40
xO 1
1
2−= yx
3
2
Глава 2. Приложения определённого интеграла
Рис. 41
O
y
)(xfy =
xdx ∆=
y∆
dS
xbdxxxa +

Страницы