Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

72 73
Определённый интеграл
Тогда
dyydy
y
dS
2
2
4
2
1
4
1 +=+=
и
.4
2
1
4
0
2
∫
+= dyyS
При вычислении этого интеграла используем приём интегриро-
вания по частям для того, чтобы свести его к себе самому. Положим
dydvyu =+= ,4
2
. Найдём yv
y
ydy
du =
+
= ,
4
2
. Тогдада
=
+
−+=+
∫∫
4
0
2
2
4
0
2
4
0
2
4
44
y
dyy
yydyy
=++++−=
=
+
+
+
+
−=
∫
∫∫
4
0
2
4
0
2
4
0
2
4
0
2
2
4ln44204
4
4
4
4
204
yydyy
y
dy
dy
y
y
=−+++−=
∫
2ln4204ln44204
4
0
2
dyy
∫
+−++=
4
0
2
452ln4204 dyy
.
Получили уравнение относительно искомого интеграла. Решим
его и найдём
)52ln(22024
4
0
2
++=+
∫
dyy
.
Окончательно
)52(ln20 ++=S
.
Пример 2.4.3. Вычислить длину дуги цепной линии, заданной
уравнением
)(
2
3
33
xx
eey
−
+=
(60)
для
]
2
3
;
2
3
[−∈x
(рис. 44).
Решение. Для нахождения бесконечно
малого элемента длины дуги воспользуемся
формулой (57). Найдём сначала
)(
2
1
33
xx
eey
−
−=
′
.
Тогда
)(
2
1
4
1
4
1
1
33
2
33
2
33
xxxxxx
eeeedxeedS
−−−
+=
+=
−+=
.
Учтём теперь, что функция (60) чётная, т. е. цепная линия облада-
ет симметрией относительно оси
Oy
. А значит, для нахождения всей
длины дуги проинтегрируем
dS
на отрезке
]
2
3
;0[∈x
и умножим полу-
ченный результат на 2. В итоге
)(3)(3)(
2
1
2
2
1
2
1
2
3
0
33
2
3
0
33
−
−−
−=−=+=
∫
eeeedxeeS
xxxx
.
Пример 2.4.4. Вычислить дли-
ну дуги астроиды, заданной парамет-
рически уравнениями
=
=
tay
tax
3
3
sin
;cos
для
]2;0[ π∈t
,
0>a
.
Решение. Дуга астроиды пред-
ставлена на рис. 45. Заметим, что
астроида симметрична относитель-
3
Рис. 44
xaO
a−
a
y
a−
Рис. 45
Глава 2. Приложения определённого интеграла

Страницы