Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

74 75
Определённый интеграл
но координатных осей
Ox
и
Oy
. Следовательно, будем искать длину
четвертой части астроиды – дуги, расположенной в первом квадранте
декартовой системы координат и отвечающей изменению параметра t
от 0 до
2
π
. Для нахождения бесконечно малого элемента длины дуги
воспользуемся формулой (59). Вычислим сначала
=
′
−=
′
.cossin3
;sincos3
2
2
ttay
ttax
Тогда
( ) ( )
.2sin
2
3
sincos3)sin(cossincos9
cossin3sincos3
22222
2
2
2
2
tdtatdttadttttta
dtttattadS
==+=
=+−=
В итоге
aatatdtaS 6)0cos(cos32cos
2
1
62sin
2
3
4
2
0
2
0
=−π−=−==
π
π
∫
.
2.2.5. Вычисление площади поверхности тела вращения
Рассмотрим поверх-
ность, образованную враще-
нием вокруг оси
Ox
дуги кри-
вой
)(xfy =
(рис. 46). Пред-
положим, что функция
)(xfy =
имеет непрерывную
производную
)(xf
′
при всехх
],[ bax ∈
. Будем искать пло-
щадь поверхности
x
L
, отсе-
чённой плоскостями
ax =
,
. Для этого выделим на
дуге
)(xfy =
элемент, соот-
ветствующий изменению абсциссы от x до
dxx +
, и будем его вращать.
В качестве бесконечно малого элемента
x
dL
примем площадь
боковой поверхности усеченного конуса с образующей
dS
и радиусомм
среднего сечения
y
, где
y
– ордината, соответствующая абсциссе е x.
Действительно,
dSdydSydS
dyyy
dL
x
π+π=
++
π= 2
2
)(
2
.
Однако вторым слагаемым в последней части равенств можно пренеб-
речь как бесконечно малой величиной более высокого порядка мало-
сти, чем
dy
. Тогда
dSydL
x
π=
2
. (61)
Учитывая (57), получим
∫
′
+π=
b
a
x
dxxfxfL
2
))((1)(2
. (62)
Замечание 1. Если дуга кривой описана уравнением
)( yx ϕ=
,
],[ dcy ∈
, то, учитывая формулу (58), получим
∫
ϕ
′
+π=
d
c
x
dyyyL
2
))((12
. (63)
По аналогии найдём
формулы для вычисления
площади поверхности, обра-
зованной вращением вокруг
оси
Oy
дуги кривой
)( yx ϕ=
,
],[ dcy ∈
(рис. 47).
В качестве бесконечно
малого элемента
y
dL
при-
мем площадь боковой по-
верхности усечённого кону-
са с образующей
dS
и ради-
усом среднего сечения x, где
x – абсцисса, соответствую-
щая ординате
y
, т. е.
O
y
Рис. 46
)(xfy =
xbdxxxa +
c
y
d
dS
O
Рис. 47
)( yx ϕ=
xbxa
dS
c
y
dyy
d
+
y
Глава 2. Приложения определённого интеграла

Страницы